Transformation Dirac-Impuls < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 19.07.2011 | | Autor: | Pille456 |
Hio!
Kleine Verständnissfrage:
Die Fourier-transformierte des Dirac-Impulses ist im Frequenzbereich eine Konstante. Das heißt, dass wegen der Dualität die Fourier-transformierte einer Konstante im Zeitbereich ein Dirac-Impuls mit Vorfaktor [mm] 2*\pi [/mm] im Frequenzbereich ist.
Nun ist der Dirac-Impuls häufig über die Rechteckfunktion definiert, im Frequenzbereich heißt das:
[mm] \limes_{\Omega\rightarrow 0}rect_{\omega}(\omega)=\infty [/mm] für [mm] \omega=0 [/mm] und 0 sonst.
Das heißt doch nun erstmal nichts anderes, also dass:
Wenn ich eine konstante Funktion im Zeitbereich (z.B. g(t)=5) habe, dann kann ich diese durch eine periodische Funktion (sin/cos) mit einer Frequenz von 0 (wegen [mm] \omega=2*\pi*f) [/mm] und einer unendliche hohen Amplitude darstellen. Das macht für mich gerade irgendwie keinen Sinn.
Mir ist klar, dass diese Korrespondenz mit der Konstanten zum Dirac durch die Ausblendeigenschaft des Dirac in einem Integral zustanden kommt, aber mir ist gerade nicht so klar, was das anschaulich bedeutet.
Ziel ist es ja, eine Funktion mit Hilfe von periodischen Funktionen (sin/cos) darzustellen. Wenn ich nun nur eine konstante Funktion betrachte, dann muss ich doch sin/cos gerade so addieren, dass eine konstante Funktion herauskommt. Wieso muss ich da gerade nur die Frequenz [mm] \omega=0 [/mm] betrachten, d.h. nur der cos kommt mit cos(0)=1 in Frage. Wieso muss der cosinus dann gerade "unendlich" als Vorfaktor haben?
Gruß
Pille
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Do 21.07.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Pille,
da sprichst Du ein Thema an, in dem verschiedene Betrachtungen häufig wild durcheinander gemixt werden und ich habe so das Gefühl, das passierte auch bei Deinen Überlegungen.
Zunächst einmal ein Kommentar zur Darstellung von Funktionen im Zeitbereich. In solch einem Fall, Du sprichst ja selbst von den Sinus- und Cosinusfunktionen, geht es darum, eine Zeitfunktion mithilfe anderer Zeitfunktionen darzustellen. Nutzt man zu solch einer Darstellung die Sinus- und Cosinusfunktionen, so spricht man von einer Fourierreihenentwicklung. Die Originaldomäne, hier der Zeitbereich, wird nicht verlassen, das einzige was passiert, ist, dass man eine Zeitfunktion durch vorgegebene Basisfunktionen beschreibt.
Anders ist es bei der Fouriertransformation, bei der ein Signal im Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert wird. Hier steht man jedoch vor dem Dilemma, dass solch eine Fouriertransformation nur für absolut integrierbare Funktionen definiert ist und dummerweise gehören Sinus und Cosinus leider nicht dazu, da ihr Betragsintegral von t = - Unendlich bis t = Unendlich als Resultat Unendlich liefert. Um trotzdem mit diesen wichtigen Funktionen arbeiten zu können, hat man die Distribution [mm] \delta [/mm] eingeführt und schreibt den Cosinus um als
[mm] \cos (2 \pi \f_0 t) = \bruch{1}{2} (e^{j 2 \pi f_0 t} + e^{-j 2 \pi f_0 t} ) [/mm]
und bekommt dann mit Hilfe der Distributionentheorie die Korrespondenz
[mm] FT\, (\cos (2 \pi \f_0 t)) = \bruch{1}{2} (\delta(f + f_0) + \delta(f-f_0)) [/mm]
Damit ist dann auch der Bezug zur Amplitudenhöhe im Zeitbereich wieder klar. Eine Cosinusschwingung der Amplitude [mm] a [/mm] taucht mit [mm] \bruch{a}{2} [/mm] im Frequenzbereich auf.
Viele Grüße,
Infinit
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