Transformation ellipt. Kurve < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich habe eine elliptische Kurve gegeben mittels der kubischen Gleichung
[mm] y^2=4x^3-g_2x-g_3, [/mm] wobei [mm] g_2, g_3 [/mm] beide algebraisch.
jetzt soll ich zeigen, dass diese elliptische Kurve algebraisch abhängig von einer elliptischen Kurve der Form
[mm] y^2=4x^3-g_2x-g_3, [/mm] wobei [mm] g_2, g_3 [/mm] beide rational.
Bin schon lange am rätseln, komm aber auf keine brauchbare Idee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mo 31.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe eine elliptische Kurve gegeben mittels der
> kubischen Gleichung
>
> [mm]y^2=4x^3-g_2x-g_3,[/mm] wobei [mm]g_2, g_3[/mm] beide algebraisch.
>
> jetzt soll ich zeigen, dass diese elliptische Kurve
> algebraisch abhängig von einer elliptischen Kurve der
> Form
> [mm]y^2=4x^3-g_2x-g_3,[/mm] wobei [mm]g_2, g_3[/mm] beide rational.
>
> Bin schon lange am rätseln, komm aber auf keine brauchbare
> Idee.
Was verstehst du unter "algebraisch abhaengig" im Zusammenhang mit elliptischen Kurven?!
Meinst du, dass es einen Isomorphismus ueber [mm] $\IC$ [/mm] geben soll, der [mm] $y^2 [/mm] = 4 [mm] x^3 [/mm] - [mm] g_2 [/mm] x - [mm] g_3$ [/mm] in eine elliptische Kurve der Form [mm] $y^2 [/mm] = 4 [mm] x^3 [/mm] - [mm] g_2' [/mm] x - [mm] g_3'$ [/mm] ueberfuehrt mit [mm] $g_2', g_3' \in \IQ$?
[/mm]
Alle Isomorphismen sind von der Form $x' = [mm] u^2 [/mm] x$, $y' = [mm] u^3 [/mm] y$ mit $u [mm] \in \IC^\ast$. [/mm] Damit ist [mm] $g_2' [/mm] = [mm] u^4 g_2$ [/mm] und [mm] $g_3' [/mm] = [mm] u^6 g_3$.
[/mm]
Du musst also zeigen: sind [mm] $g_2, g_3$ [/mm] algebraische Zahlen mit [mm] $g_2^3 \neq [/mm] 27 [mm] g_3^2$, [/mm] so gibt es ein $u [mm] \in \IC^\ast$ [/mm] mit [mm] $u^4 g_2, u^6 g_3 \in \IQ$.
[/mm]
Dass dies gilt, will mir irgendwie nicht einleuchten. Nehmen wir etwa [mm] $g_1 [/mm] = 1$; dann muss [mm] $u^4 \in \IQ$ [/mm] sein, womit [mm] $u^6$ [/mm] hoechstens in einer quadratischen Erweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] liegen kann. Damit also [mm] $u^6 g_3 \in \IQ$ [/mm] ist, muss [mm] $g_3$ [/mm] ebenfalls in einer quadratischen Erweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] liegen. Ist aber etwa [mm] $g_3 [/mm] = [mm] \sqrt[4]{2}$, [/mm] so gilt [mm] $g_2^3 \neq [/mm] 27 [mm] g_3^2$, [/mm] womit die elliptische Kurve [mm] $y^2 [/mm] = 4 [mm] x^3 [/mm] - x - [mm] \sqrt[4]{2}$ [/mm] nicht isomorph zu einer mit rationalen Koeffizienten ist, obwoh $1$ und [mm] $\sqrt[4]{3}$ [/mm] algebraisch sind.
LG Felix
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