Transformation von Dichten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die Zufallsvariable X ~ [mm] Exp(\lambda) [/mm] und [mm] Y:=e^X.
[/mm]
(i) Bestimmen sie Dichte und Verteilungsfkt. von Y.
(ii) Bestimmen sie E(Y) sowohl mithilfe der Tranormationsformel für Erwartungswerte, als auch dirket. Für welche Werte von [mm] \lambda [/mm] existiert der Erwartungswert? |
Bei mir kommt bem 1. Teil ein unmögliches Ergebnis raus.
[mm] u(x)=e^x<=>u^-1(y)=log(y) [/mm]
(d/dy)*u^-1(y)=1/y
Mit der Transformationsformel gilt also: [mm] f_Y(y)=\lambda*e^{-\lambda*log(y)}*(1/y)*1_([1, \infty)) [/mm] (y)(Der letzte Faktor wird nicht richtig dargestellt, es handelt sich um die Indikjatorfkt. von y zwischen 1 und unendlich.
Also: [mm] \lambda*e^{-\lambda}*1_([1,\infty))(y)
[/mm]
Das kann aber nicht sein, da das Integral aur R nicht 1 ergibt.
Wo ist also der Fehler?
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 01.04.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin RusselFrege
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wo ist das Problem?
[mm] $1=\int_{1}^{\infty}\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}log(y)}\cdot{}(1/y)\,dy$ [/mm] ...
|
|
|
| |
|
Danke!
Weil ich doch das log(y) im Exponent von e als y vor den Term schreiben kann, so dass es sich mit dem y wegkürzt. Dann bleibt die Konstante [mm] \lambda*e^{-\lambda} [/mm] stehen, und wenn ich die integriere, kommt da doch nicht 1 raus...Oder wie kommst du auf diesen Wert?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Danke!
> Weil ich doch das log(y) im Exponent von e als y vor den
> Term schreiben kann, so dass es sich mit dem y wegkürzt.
Nein, das kürzt sich nicht weg ...
Es ist [mm]e^{-\lambda\cdot{}\ln(y)}=\left(e^{\ln(y)}\right)^{-\lambda}=y^{-\lambda}[/mm]
> Dann bleibt die Konstante [mm]\lambda*e^{-\lambda}[/mm] stehen,
Nein ... Wie soll das denn herauskommen?
> und
> wenn ich die integriere, kommt da doch nicht 1 raus...Oder
> wie kommst du auf diesen Wert?
Rechne nochmal nach ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Achja, stimmt, hast du recht. Also insgesamt dann [mm] \lambda*y^{-\lambda -1} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mi 02.04.2014 | | Autor: | luis52 |
> Achja, stimmt, hast du recht. Also insgesamt dann
> [mm]\lambda*y^{-\lambda -1}[/mm] ?
Wie das? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Die Dichte von [mm] $e^X$ [/mm] ist $ [mm] f_Y(y)=\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}\log(y)}\cdot{}(1/y)\cdot{}1_{[1, \infty)}(y)$, [/mm] Punkt!
|
|
|
|
