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| Aufgabe | Eine quadratische Form ist gegeben durch:
f(x, y) = [mm] ax^2 [/mm] + 2bxy + [mm] cy^2 [/mm] (a, b, c [mm] \in \mathbb{R})
[/mm]
Dann erste Aufgabe:
Mit einer geeigneten reellen symmetrischen (2x2)-Matrix A (nämlich welcher?) lässt sich obige Gleichung dann auch schreiben als:
f(x,y) = [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}^T \cdot A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo Leute,
hätte eine Verständnisfrage zu oben angeführter Aufgabe und außerdem weiß ich nicht, in welchen "Teilbereich der Mathematik" diese Überlegungen fallen. Wir machen gerade das Thema "Nichtlineare Optimierung", aber die Aufgabe ist nicht zwangsweise nur diesem Thema zuzuordnen oder?
Nun weiß ich die Lösung aus der Vorlesung, dass A folgende Matrix ist:
A = [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}
[/mm]
[B]Aber warum ist das so? Warum kommt dort 2 mal 'b' vor und alles andere einmal? Ist das ein bestimmtes Gesetz oder wird das berechnet?[/B]
Ich habe diese Frage auch übrigens in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=476350
Danke im Voraus und lg
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:50 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Für A mache den Ansatz:
A= [mm] \pmat{ r & s \\ t & u }
[/mm]
Da A symmetrisch sein soll, ist s=t, also
A= [mm] \pmat{ r & s \\ s & u }
[/mm]
Wenn Du f(1,0) einmal mit
f(x, y) = $ [mm] ax^2 [/mm] $ + 2bxy + $ [mm] cy^2 [/mm] $
berechnest und dann mit
f(x,y) = $ [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}^T \cdot A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] $,
so siehst Du, dass r=a sein muß. Wie kommst Du nun wohl zu u=c und s=b ?
FRED
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| Aufgabe | | Mit geeigneten reellen Zahlen u,v,w (nämlich welchen?) läßt sich f(x,y) im Falle a [mm] \not= [/mm] 0 auch schreiben als f(x,y) = u(x + [mm] vy)^2 [/mm] + [mm] wy^2. [/mm] |
Hallo Fred,
danke für die schnelle Hilfe. Du hast Recht, habe jetzt mit allen drei Varianten f(1,0) & f(0,1) & f(1,1) auf beide Arten berechnet und da wird klar, dass die Matrix nur so aussehen kann. Was mir nur gefehlt hat, war die Überlegung, dass die Matrix symmetrisch sein muss, sprich das die Transponierte Matrix muss gleich der normalen Matrix sein oder?
Weiters haben wir noch eine zweite Aufgabe, siehe oben. Ich habe hier mal begonnen, das Ergebnis auszumultiplizieren:
u [mm] \cdot [/mm] [(x+vy) [mm] \cdot [/mm] (x+vy)] + [mm] wy^2 [/mm] = u [mm] \cdot [x^2 [/mm] + 2vxy + [mm] v^2y^2] [/mm] + w [mm] y^2 [/mm] = [mm] ux^2 [/mm] + 2uvxy + [mm] uv^2wy^2
[/mm]
Nun kann ich folgendes sagen:
a = u
b = u [mm] \cdot [/mm] v
c = u [mm] \cdot v^2 \cdot [/mm] w
Gut, a [mm] \not= [/mm] 0, da sonst alle andere auch 0 wären. Aber was kann ich aus den Ergebnissen noch ableiten und wie komme ich auf einzelne reelle Zahlen?
Danke und lg
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Mit geeigneten reellen Zahlen u,v,w (nämlich welchen?)
> läßt sich f(x,y) im Falle a [mm]\not=[/mm] 0 auch schreiben als
> f(x,y) = u(x + [mm]vy)^2[/mm] + [mm]wy^2.[/mm]
>
>
> Hallo Fred,
>
> danke für die schnelle Hilfe. Du hast Recht, habe jetzt
> mit allen drei Varianten f(1,0) & f(0,1) & f(1,1) auf beide
> Arten berechnet und da wird klar, dass die Matrix nur so
> aussehen kann. Was mir nur gefehlt hat, war die
> Überlegung, dass die Matrix symmetrisch sein muss, sprich
> das die Transponierte Matrix muss gleich der normalen
> Matrix sein oder?
>
> Weiters haben wir noch eine zweite Aufgabe, siehe oben. Ich
> habe hier mal begonnen, das Ergebnis auszumultiplizieren:
>
> u [mm]\cdot[/mm] [(x+vy) [mm]\cdot[/mm] (x+vy)] + [mm]wy^2[/mm] = u [mm]\cdot [x^2[/mm] + 2vxy
> + [mm]v^2y^2][/mm] + w [mm]y^2[/mm] = [mm]ux^2[/mm] + 2uvxy + [mm]uv^2wy^2[/mm]
>
> Nun kann ich folgendes sagen:
> a = u
> b = u [mm]\cdot[/mm] v
> c = u [mm]\cdot v^2 \cdot[/mm] w
>
> Gut, a [mm]\not=[/mm] 0, da sonst alle andere auch 0 wären. Aber
> was kann ich aus den Ergebnissen noch ableiten und wie
> komme ich auf einzelne reelle Zahlen?
Es ist also u=a
Damit ist v=b/a
Jetzt mach Du weiter.
FRED
>
> Danke und lg
> Christoph
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Okay, gut da hätte ich selbst noch draufkommen können:
u = a
v = [mm] \bruch{b}{u} [/mm] = [mm] \bruch{b}{a}
[/mm]
w = [mm] \bruch{c}{u \cdot v^2} [/mm] = [mm] \bruch{c}{a \cdot (\bruch{b}{a})^2} [/mm] = [mm] \bruch{c}{\bruch{b^2}{a}} [/mm] = [mm] \bruch{a \cdot c}{b^2}
[/mm]
Sind das jetzt schon meine reelen Lösungen für u, v und w?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 09.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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