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Hallo
Ich komme hier gerade überhaupt nicht weiter mein Potential lautet
[mm]F(z)=u_\infty*z+\bruch{q}{2\pi}*ln(\bruch{z+a}{z-a})[/mm]
Hätte es jetzt aber gern in der Form [mm]F(z)=\phi+i*\psi[/mm]
also für [mm]z=x+i*y[/mm] eingesetz...
[mm]F(z)=u_\infty*(x+i*y)+\bruch{q}{2\pi}*ln(\bruch{x+i*y+a}{x+i*y-a})[/mm]
jetzt würde ich konj.komplex erweitern ?
[mm]F(z)=u_\infty*(x+i*y)+\bruch{q}{2\pi}*ln(\bruch{x^2+y^2-a^2-i*2ay}{x^2-2ax+y^2+a^2})[/mm]
jetzt bin ich ratlos habe es auch mit der Euler-Form probiert mit dem gleichen Ergebnis
Als Lösung sollte rauskommen
[mm]\phi=u_\infty*x+\bruch{q}{2\pi}*ln(\bruch{\wurzel{(x+a)^2+y^2}}{\wurzel{(x-a)^2+y^2}}[/mm]
[mm]\psi=u_\infty*y+\bruch{q}{2\pi}*arctan(\bruch{y}{x+a})-\bruch{q}{2\pi}*arctan(\bruch{y}{x-a})[/mm]
hat jemand einen Tipp, steh gerade komplett auf der Leitung
lg Stevo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Fr 05.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich komme hier gerade überhaupt nicht weiter mein
> Potential lautet
>
> [mm]F(z)=u_\infty*z+\bruch{q}{2\pi}*ln(\bruch{z+a}{z-a})[/mm]
Ich vermute mal, hier ist der Hauptzweig vom Logarithmus gemeint?
> Hätte es jetzt aber gern in der Form [mm]F(z)=\phi+i*\psi[/mm]
> also für [mm]z=x+i*y[/mm] eingesetz...
>
> [mm]F(z)=u_\infty*(x+i*y)+\bruch{q}{2\pi}*ln(\bruch{x+i*y+a}{x+i*y-a})[/mm]
>
> jetzt würde ich konj.komplex erweitern ?
>
> [mm]F(z)=u_\infty*(x+i*y)+\bruch{q}{2\pi}*ln(\bruch{x^2+y^2-a^2-i*2ay}{x^2-2ax+y^2+a^2})[/mm]
>
> jetzt bin ich ratlos habe es auch mit der Euler-Form
> probiert mit dem gleichen Ergebnis
>
> Als Lösung sollte rauskommen
>
> [mm]\phi=u_\infty*x+\bruch{q}{2\pi}*ln(\bruch{\wurzel{(x+a)^2+y^2}}{\wurzel{(x-a)^2+y^2}}[/mm]
>
> [mm]\psi=u_\infty*y+\bruch{q}{2\pi}*arctan(\bruch{y}{x+a})-\bruch{q}{2\pi}*arctan(\bruch{y}{x-a})[/mm]
>
> hat jemand einen Tipp, steh gerade komplett auf der
> Leitung
Es ist doch [mm] $\ln(a [/mm] + i b) = [mm] \ln(|a [/mm] + i b|) + i [mm] \mathrm{arg}(a [/mm] + i b)$. Jetzt ist $|a + i b| = [mm] \sqrt{a^2 + b^2}$ [/mm] (fuer deine Gleichung beachte, dass [mm] $|\frac{c}{d}| [/mm] = [mm] \frac{|c|}{|d|}$ [/mm] ist). Weiterhin ist [mm] $\mathrm{arg}(a [/mm] + i b) = [mm] \arctan \frac{b}{a}$, [/mm] wie man aus der Polarkoordinatendarstellung $a + i b = r [mm] \cos \phi [/mm] + r i [mm] \sin \phi$ [/mm] mit [mm] $\phi [/mm] = [mm] \mathrm{arg}(a [/mm] + i b)$ und $r = |a + i b|$ schnell ablesen kann (fuer deine Gleichung beachte, dass [mm] $\mathrm{arg}(\frac{c}{d}) [/mm] = [mm] \mathrm{arg}(c) [/mm] - [mm] \mathrm{arg}(d)$ [/mm] ist).
LG Felix
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Hallo Felix
Erst mal danke für die rasche Antwort.
Das mit dem Betrag hat jetzt funktioniert aber beim Argument häng ich immer noch
[mm]arg(\bruch{x^2+y^2-a^2-i\cdot{}2ay}{x^2-2ax+y^2+a^2})[/mm] ist [mm]arctan(\bruch{Im}{Re})[/mm] also [mm]arctan(\bruch{-2ay}{x^2+y^2-a^2})[/mm] was aber mit der Lösung nicht übereinstimmt?
mit deinem Hinweis [mm]\mathrm{arg}(\frac{c}{d}) = \mathrm{arg}(c) - \mathrm{arg}(d)[/mm] wenn ich das so richtig versteh würde folgen [mm]arg({x^2+y^2-a^2-i\cdot{}2ay})-arg({x^2-2ax+y^2+a^2})[/mm] was auch zu gleichen Ergebnis führt????
lg Stevo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Fr 05.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Stevo,
> Erst mal danke für die rasche Antwort.
> Das mit dem Betrag hat jetzt funktioniert aber beim
> Argument häng ich immer noch
> [mm]arg(\bruch{x^2+y^2-a^2-i\cdot{}2ay}{x^2-2ax+y^2+a^2})[/mm] ist
> [mm]arctan(\bruch{Im}{Re})[/mm] also
> [mm]arctan(\bruch{-2ay}{x^2+y^2-a^2})[/mm] was aber mit der Lösung
> nicht übereinstimmt?
>
> mit deinem Hinweis [mm]\mathrm{arg}(\frac{c}{d}) = \mathrm{arg}(c) - \mathrm{arg}(d)[/mm]
> wenn ich das so richtig versteh würde folgen
> [mm]arg({x^2+y^2-a^2-i\cdot{}2ay})-arg({x^2-2ax+y^2+a^2})[/mm] was
> auch zu gleichen Ergebnis führt????
du musst $arg(c/d) = arg(c) - arg(d)$ auf $c = z + a$ und $d = z - a$ anwenden (mit $z = x + i y$).
LG Felix
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