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| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes die folgende Formel:
[mm] \integral_{\{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 | 0 < x_{1} - x_{2} < 1, 0 < x_{1} + x_{2} < 1 \}}^{}{(x_{1} + x_{2})^2 dx} [/mm] = [mm] \integral_{(0, 1)^2 }^{}{2y_{1}^2 dy} [/mm] |
Meine Frage:
Wie komme ich auf den Faktor 2 im rechten Integral?
Ich bin bis jetzt so vorgegangen:
[mm] \phi: (0,1)^2 \to \IR^2
[/mm]
[mm] \phi(x_{1}, x_{2}) [/mm] := 1/2 * [mm] \vektor{x_{1} + x_{2} \\ x_{1} - x_{2}}
[/mm]
habe ich mir als Transformationsabbildung gewählt.
Ich habe gezeigt, dass [mm] \phi [/mm] ein Diffeomorphismus ist und die Menge unter dem linken Integral gerade das Bild von [mm] \phi [/mm] unter (0, [mm] 1)^2 [/mm] ist.
Jetzt betrachte ich [mm] D\phi(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] \pmat{ 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & - 1/2 }
[/mm]
|det [mm] D\phi| [/mm] = 1/2
Damit sollte ich 1/2 statt 2 als Faktor im rechten Integral bekommen, was meint ihr?
Wäre für eine Antwort sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo StiftlersMom,
> Beweisen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes die
> folgende Formel:
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> [mm]\integral_{\{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 | 0 < x_{1} - x_{2} < 1, 0 < x_{1} + x_{2} < 1 \}}^{}{(x_{1} + x_{2})^2 dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{(0, 1)^2 }^{}{2y_{1}^2 dy}[/mm]
> Meine Frage:
>
> Wie komme ich auf den Faktor 2 im rechten Integral?
>
> Ich bin bis jetzt so vorgegangen:
>
> [mm]\phi: (0,1)^2 \to \IR^2[/mm]
> [mm]\phi(x_{1}, x_{2})[/mm] := 1/2 *
> [mm]\vektor{x_{1} + x_{2} \\ x_{1} - x_{2}}[/mm]
> habe ich mir als
> Transformationsabbildung gewählt.
>
> Ich habe gezeigt, dass [mm]\phi[/mm] ein Diffeomorphismus ist und
> die Menge unter dem linken Integral gerade das Bild von
> [mm]\phi[/mm] unter (0, [mm]1)^2[/mm] ist.
>
> Jetzt betrachte ich [mm]D\phi(x_{1}, x_{2})[/mm] = [mm]\pmat{ 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & - 1/2 }[/mm]
>
> |det [mm]D\phi|[/mm] = 1/2
>
> Damit sollte ich 1/2 statt 2 als Faktor im rechten Integral
> bekommen, was meint ihr?
>
Du hast doch:
[mm]y_{1}=\bruch{1}{2}*\left(x_{1}+x_{2}\right)[/mm]
[mm]y_{2}=\bruch{1}{2}*\left(x_{1}-x_{2}\right)[/mm]
[mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm] sind Funktionen von [mm]y_{1}, \ y_{2}[/mm].
Damit ist [mm]\pmat{\bruch{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \bruch{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} \\ \bruch{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \bruch{\partial x_{2}}{\partial y_{2}}}[/mm] zu berechnen.
> Wäre für eine Antwort sehr dankbar!
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Gerade kam eine Mail rum, dass die 1/2 stimmt und die 2 nicht. Hat sich also erledigt. Trotzdem vielen Dank für die schnelle Antwort! =)
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