Transformationsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mi 15.02.2006 | | Autor: | andi_bar |
| Aufgabe | Bestimme die Transformationsmatrix, welche die Abbildung e1->e3, e2->e1, e3->e2 beschreibt.
Gesucht:
-Transformationsmatrix
-Ist die transformationsmatrix eine Permutationsmatrix? Wenn ja, welche?
-Berechne mittels Transformation die Gleichung der Bildgeraden der durch die Punkte P(0, 1, 1) und Q(2, 0, 2) gegeben Geraden g. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hier ist bestimmt die Übergangsmatrix gemeint. Ich verstehe nur das mit der Abbildung nicht.
Wenn z.b: A= [mm] \pmat{ e1_x & e2_x & e3_x \\ e1_y & e2_y & e3_y \\ e1_z & e2_z & e3_z };
[/mm]
ist dann die Abbildung B= A= [mm] \pmat{ e3_x & e1_x & e2_x \\ e3_y & e1_y & e2_y \\ e3_z & e1_z & e2_z }? [/mm] Und gesucht ist die Übergangsmatrix von A zu B? Vielleicht komm ich auch mit dem Begriff 'Abbildung' nicht klar.
Das mit der Permutationsmatrix ist mir jetzt auch noch nich so klar. Aber dann üsste ich doch eigentlich nur die Punkte in die neue Basis überführen und die Gerade bilden, oder?
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mi 15.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also gegeben ist hier ja eine Abbildung - nämlich durch die Bilder der Basisvektoren (und wegen der Linearität reicht das schon aus um die ganze Abbildung zu kennen)
zuerst sollst du wohl wirklich die "Abbildungsmatrix" bestimmen, d.h. du verwendest den wirklich wirklich wichtigen Satz:
"Die Bilder der Basisvektoren sind die Spalten der Abbildungsmatrix"
Um die zweite Frage zu beantworten, muss man erstmal definieren, was eine Permutationsmatrix ist, ich hatte mal vor Ewigkeiten etwas zum Zusammenhang von Permutationen und Matrizen geschrieben, siehe HIER
Wenn eine Permutationsmatrix einfach nur eine Matrix ist, die die Komponenten eines Vektors (den man da dran multipliziert) nur permutiert, dann ist deine Matrix natürlich eine von diese...
(aus [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$ [/mm] wird durch die Abbildung [mm] $\vektor{x_3\\x_1\\x_2}$)
[/mm]
Wenn du aber gerade eine Definition von "Permutationsmatrix" zur Hand hast, dann schreib sie bitte mal hier auf.
(so können wir dann sicher sein)
auch deine letzte Überlegung ist richtig : man braucht nur die beiden definierenden Punkte abbilden, weil die Abbildung bijektiv ist, wird dann daraus auch wieder eine Gerade (auch durch die Linearität)
so, aber warum wird das hier die ganze Zeit  Transformationsmatrix genannt ?
Schau dir mal den Link an (letztes Beispiel)
(der Link wurde jetzt auch berichtigt, so dass er funktioniert)
Fällt dir was auf?
sei B die Standardbasis und B' die permutierte, wie in der Aufgabenstellung !
Weil die Abbildung Basisvektoren aus B auf Basisvektoren aus B' abbildet, ist die Abbildungsmatrix auch gleichzeitig eine Transformationsmatrix von B' nach B !
Für dieses Thema empfehle ich aber obigen Link dazu - wenn Fragen entstehen, kannst du aber natürlich gerne nachfragen 
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:31 Do 16.02.2006 | | Autor: | andi_bar |
hi DaMenge,
vielen Dank für die ausführlich Antwort:
mit dem wohl wichtigen satz "Die Bilder der Basisvektoren sind die Spalten der Abbildungsmatrix" komm ich noch nicht so richtig klar.
soll cih die Abbildungsmatrix berechnen, indem ich die basisvektoren in die abbildung einsetze? vielleicht könntest du bitte darauf nochmal eingehen.
ansonsten habe ich gerade in meinem buch einen interessanten satz gefunden: [..]ein wichtiger sonderfall entsteht, wenn man einen wechsel von der kanonischen basis (e1,e2,..) zu einer anderen basis vornimmt. in diesem falle ist die übergangsmatrix gleich der anderen basis.
soll das heissen das die gesuchte übergangsmatrix gleich der abbildung ist?
hm..den rest bearbeite ich morgen. is schon spät.
danke soweit!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Do 16.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> mit dem wohl wichtigen satz "Die Bilder der Basisvektoren
> sind die Spalten der Abbildungsmatrix" komm ich noch nicht
> so richtig klar.
>
> soll cih die Abbildungsmatrix berechnen, indem ich die
> basisvektoren in die abbildung einsetze? vielleicht
> könntest du bitte darauf nochmal eingehen.
Also ohne übertreiben zu wollen : dies ist wohl der wichtigste Satz, den man sich im Umfeld von abbildungsmatrizen einprägen kann (und sollte).
Stell die mal vor du hast eine Basis [mm] $B=\{ b_1 , b_2 , b_3 \}$ [/mm] und du kennst die Bilder der Basisvektoren unter einer linearen Abbildung f, d.h. du weißt, was raus kommt bei [mm] $f(b_1)$ [/mm] , [mm] $f(b_2)$ [/mm] und [mm] $f(b_3)$
[/mm]
Dies reicht schon aus um die ganze abbildung zu kennen, denn sei x mal bzgl der Basis B allgemein gegeben, dann ist :
[mm] $f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})=f(x_1 *b_1 [/mm] + [mm] x_2 *b_2 +x_3 *b_3)$
[/mm]
und wegen der Linearität folgt:
[mm] $=x_1 *f(b_1)+x_2 *f(b_2) +x_3 *f(b_3)=\underbrace{\pmat{f(b_1)&f(b_2)&f(b_3)}}_{als Matrix !}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$
[/mm]
(Die darstellung meint eben : die Spalten sind die Bilder der Basisvektoren)
Du siehst also die Abbildungsmatrix von f wird gerade durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt.
bei deiner Aufgabe weißt du : [mm] $f(e_1) [/mm] = [mm] e_3$ [/mm] , usw...
Wenn man eine Abbildung expliziet vorgegeben hat, dann kan man die Basisvektoren einer Basis B einsetzen und erhält so die Bilder
(und damit die Abbildungsmatrix von f bzgl B)
>
> ansonsten habe ich gerade in meinem buch einen
> interessanten satz gefunden: [..]ein wichtiger sonderfall
> entsteht, wenn man einen wechsel von der kanonischen basis
> (e1,e2,..) zu einer anderen basis vornimmt. in diesem falle
> ist die übergangsmatrix gleich der anderen basis.
hmm - das ist etwas aus dem Zusammenhang gerissen.
ich weiß nicht genau, was hier mit "Wechsel der Basis" gemeint ist.
Wenn man hier meint : Man bildet eine Basis auf eine andere Basis ab, dann ist die andere Basis ja gerade die Bilder und steht somit in den Spalten...
Wenn man hier meint : Ich will einen Vektor [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$ [/mm] der bzgl Basis B gegeben ist in denselben Vektor aber bzgl B' umwandeln, dann ist die Matrix, die entsteht (,wenn man die Spalten aus B' nimmt), eigentlich die Transformationsmatrix von B' nach B
(also in deinem Falle eigentlich von der anderen Basis zur kanonischen)
Es kann aber sein, dass ihr das in dem Buch irgendwie anders (nicht Standard-mäßig) definiert und daher solche Abweichungen entstehen könnten...
(wie heißt denn das Buch und von wem ist es?)
Du solltest also hier vielleicht nochmal schreiben, worum es in dem Kapitel geht und evtl. noch ein oder zwei wichtige Ergebnisse von kurz vor dem Satz aufschreiben (denn es scheint ja ein Speziallfall von irgendwas zu sein)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Do 16.02.2006 | | Autor: | andi_bar |
hi DaMenge,
also ist es wie folgt:
Meine Abbildung sieht wie folgt aus:
f(e1,e2,e3) = (e3,e1,e2)
f(e1) = (0,0,1)
f(e2) = (1,0,0)
f(e3) = (0,1,0)
Die Bilder der Basisvektoren sind die Spalten der Abbildungsmatrix.
Also lautet meine Abbildungsmatrix
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Ich hoffe ich liege richtig.
Nun stand ja in der Aufgabenstellung das die Koordinatentransformationsmatrix gesucht wird. Ich kann mich erinnern, in der Prüfung die Übergangsmatrix mittels des üblichen Verfahrens der Bildung der Inversen gemacht zu haben. War aber völlig verwirrt, da die Basismatrix B ja schon die Einheitsmatrix ist. Dahin wollte ich sie ja überführen.
Jetzt komme ich nochmal zu dem Textteil im Buch:
Also Vorgeschichte: Es geht um eine normale Basistransformation. Gegeben sind die Basismatritzen B = [b1,b2,b3] und B'=[b1',b2',b3'] und B' = BA, wobei A die Übergangsmatrix darstellt.
Nun zum Sonderfall:
Wir haben also die kanonische Basismatrix B=[e1,e2,e3,..,en] und wollen diese in eine andere Basis B'=[b1',b2',..bn'] überführen. In diesem Falle ist A = B'.
Das Buch heisst Höhere MAthematik für Ingenieure Band II - Lineare Algebra von Burg/Haf/Wille - Teubner Verlag Stuttgart
Das würde ja bedeuten, das die Übergangsmatrix gleich der Bildmatrix ist. Wenn das so wäre ergibt es auch einen Sinn, daß ich bei der Inversenbildung schon eine Inverse stehen hatte und die Übergangsmatrix praktisch meine Bildmatrix war.
Also ist die Transformationsmatrix = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
War also der einizge Kniff der Aufgabe, diesen Sonderfall zu kennen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Do 16.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du schreibst, dass B'=B*A sein soll...
Das macht mich gerade ein bischen stutzig, denn normaler Weise multipliziert man (Spalten-)Vektoren von rechts an die Abbildungsmatrix...
du hattest ja auch geschrieben : [mm] $f(e_1)=e_3$
[/mm]
wie würde nun eure Rechnung mit der antspr. Abbildungsmatrix [mm] A_f [/mm] aussehen ?
1) [mm] $A_f *e_1 [/mm] = [mm] e_3$
[/mm]
(Vektoren als Spaltenvektoren)
oder
2) [mm] $e_1 *A_f =e_3$
[/mm]
(Vektoren als Zeilenvektoren)
Wenn es nämlich 2) darfst du so ziemlich alles vergessen, was hier und im Link gesagt wurde !
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Do 16.02.2006 | | Autor: | andi_bar |
Hallo,
ich wende diesen Ausdruck jetzt einfach mal an.
B' = B * A.
würde heissen:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
und es stimmt ja auch:
Zeile mal Spalte nach Falk: [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Also ist das die gesuchte Transformationsmatrix?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Do 16.02.2006 | | Autor: | andi_bar |
Hi,
eine Permutationsmatrix ist wohl eine Matrix, welche die Vertauschungen der Zeilen oder Spalten aufzeigt.
In meinem Fall ist die Transformationsmatrix eine Permutationsmatrix, da hier die 1. mit der 3., die 2. mit der 1. und die 3. mit der 2. vertauscht wird.
ich habe in der anderen Mitteilung was dazu geschrieben, deshalb nenne ich das plötzlich Transformationsmatrix. Es scheint ja diese zu sein, wenn ich nich falsch liege.
Dann ist gefragt, welche Permutationsmatrix das ist. Hm..das ist ne komische Frage. Ich habe nur gefunden, das man solche Matrizen klassifizieren kann in gerade und ungerade, je nach Anzahl der Vertauschungen. 3 Vertauschungen -> Ungerade Permutationsmatrix.
Aber ist das gemeint?
So nun mach ich mich mal noch an die 3. Teilaufgabe mit den Geraden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Do 16.02.2006 | | Autor: | andi_bar |
Nochmal Hallo!
So nun habe ich die Punkte P(0,1,1) und Q(2,0,2)
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = Q - P = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
--> g0 = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + s [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Diese gilt es zu überführen.
P'=(1,0,1)
Q'=(2,2,0)
--> g0' = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + s [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Ich hoffe das ist der letzte Teil der Lösung.
Danke DaMenge für die Unterstützung und Mühe! :)
|
|
|
|
