Transformationsmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Betrachten sie die Basen
[mm] B_{1} [/mm] = ( [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] )
[mm] B_{2} [/mm] = ( [mm] \vektor{2 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] )
[mm] B_{3} [/mm] = ( [mm] \vektor{4 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] )
[mm] B_{4} [/mm] = ( [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2} [/mm] )
des [mm] \IR^{2} [/mm] sowie die lineare Abb f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] mit Matrix
[mm] M_{B2unten}_{B1oben} [/mm] (f) = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ -2 & -6 }
[/mm]
a) ermitteln sie die Transformationsmatrizen [mm] T_{B4unten}_{B2oben} [/mm] und [mm] T_{B1unten}_{B3oben} [/mm] und berechnen sie [mm] M_{B4unten}_{B3oben} [/mm] (f)
mit Hilfe der Tranformationsmatrizen.
b) Finden sie Basen [mm] B_{5}, B_{6}, [/mm] so dass [mm] M_{B6unten}_{B5oben} [/mm] (f) = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] . |
zu a)
Um es klar zu stellen, [mm] T_{B4unten}_{B2oben} [/mm] soll eine Matrize sein, die die "untere Basis" auf die "obere Basis" Abbildet. Also [mm] x*B_{4} [/mm] = [mm] B_{2}
[/mm]
habe ich es richtig verstanden?
Meiner Rechnung nach wäre
[mm] T_{B4unten}_{B2oben} \pmat{ -2 & -2 \\ 0,5 & 2,5 }
[/mm]
[mm] T_{B1unten}_{B3oben} \pmat{ 4 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
wenn ich [mm] M_{B4unten}_{B3oben} [/mm] (f) berechnen soll, dann muss ich
[mm] T_{B4unten}_{B2oben} [/mm] * [mm] M_{B2unten}_{B1oben} [/mm] (f) * [mm] T_{B1unten}_{B3oben} [/mm] = [mm] M_{B4unten}_{B3oben} [/mm] (f)
ausrechnen oder? in der Reihenfolge " linke * Mitte, (linke*Mitte) * rechte"
wenn ja, dann hätte ich die a) komplett
zu b)
leider weiß ich nicht wie ich da vorgehen soll. die rechnung müsste so ähnlich wie bei a sein..
aber irgendwie ist da zu viel unbekanntes, sodass ich nicht auf konkrete Zahlen komme. hat da jemand einen Ansatz!
hoffe, dass ihr mir helfen könnt, danke.
|
|
| |
|
Hallo Aguero,
zu a): Die Ergebnisse für beide Transformationsmatrizen kann ich nur bestätigen, habe ich auch rausbekommen.
Wegen der Verknüpfung der Matrizenmultiplikation der Transformationsformel rechnet man meist von M=TMT die rechten beiden zusammen also MT=X und dann M=TX das Produkt der rechten Matrizen zur linken, aber das Ergebnis sollte trotzdem richtig sein.
zu b): Wähle dir beliebige (linear unabhängige!!!) Vektoren sodass [mm] B_5 [/mm] durch [mm] B_6 [/mm] dargestellt wird und so wie M beschreibt abbilden. Also darstellende Matrix rückwärts, es können verschiedenste Basen richtig sein.
Ist das nun klarer?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 10.01.2013 | | Autor: | Aguero |
gut, die a) habe ich also hinbekommen!
zu b)
wenn ich mir jetzt 2 l.u. wähle
sagen wir
[mm] B_{5} [/mm] = ( [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] )
und
[mm] B_{5} [/mm] = ( [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] )
was nun?
ich weiß nicht wie ich von den Basen aus auf mein M_b6_b6 komme.
brauche ich da noch ein anderes M, oder soll ich die Transformationsmatrix erstellen? Eine tr.matrix von b5&b6 wäre falsch da ich ja die Matrix der Abbildung von b6 zu b5 suche..
|
|
|
| |
|
Hey,
Soweit ich es verstanden habe, können wir die Basen beliebig wählen sodass erfüllt ist: für [mm] a_1,a_2,a_3,a_4 \in B_5 [/mm] und [mm] b_1,b_2,b_3,b_4 \in B_6
[/mm]
[mm] \vektor{a_1 \\ a_2} [/mm] = 1 * [mm] \vektor{b_1 \\ b_2} [/mm] + 0 * [mm] \vektor{b_3 \\ b_4}
[/mm]
[mm] \vektor{a_3 \\ a_4} [/mm] = 0 * [mm] \vektor{b_1 \\ b_2} [/mm] + 0 * [mm] \vektor{b_3 \\ b_4}
[/mm]
Die roten Einträge sind dabei die Darstellungsmatrix (Die eine Basis durch die andere darstellen können.) die gegeben ist.
Gesucht sind also die [mm] a_1,...,a_4 [/mm] und [mm] b_1,...,b_4 [/mm] also die Basen für die diese Matrix gibt.
Auf der anderen Seite gibt es sicher noch eine Möglichkeit die Transformationsformel anzuwenden, denn wir können das System aus Aufgabenteil a) erweitern, sodass wir Abbildungen zu [mm] B_5, B_6 [/mm] finden, aber dazu haben wir ja kaum weitere Angaben sodass die oben beschriebene Lösungsidee eigentlich funktioniert.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 10.01.2013 | | Autor: | Aguero |
wird nicht in der 2ten zeile für a3 und a4 immer nur 0 rauskommen?
dann wäre die Basis ja (0,0) , ist das eine Basis?
|
|
|
| |
|
Also für [mm] \vektor{b_3 \\ b_4} [/mm] kann eigentlich nur [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] folgen, aber bei den anderen muss eben noch das passende dazu eingesetzt werden, aber auch die Lösung ist soweit nicht eindeutig, denn mehrere Basen erfüllen die geforderte Bedingung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Do 10.01.2013 | | Autor: | Aguero |
okay dann werde ich es so hinnehmen, schaue mal bitte in dein postfach
|
|
|
|
