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| Aufgabe | Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum über einem Körper K und f ein Endo-
morphismus von V . Zeigen Sie, daß äquivalent sind
(i) Fur je zwei Basen A und B von V gilt Mf,A,A = Mf,B,B.
(ii) Es gibt ein λ ∈ K mit f = λidV . |
Hallo!
Leider habe ich Probleme diese Aufgabe zu verstehen und verstehe nicht wie ich diese Äquivalenz zeigen soll...
Ich weiß, dass ein Endomorphismus bedeutet, dass es eine lineare Abbildung ist von V nach W, wobei V und W gleich sind. Leider fällt mir nicht mehr zu dieser Augabe ein, daher wäre ich sehr dankbar, falls mir jemand einen Ansatz liefern könnte.
LG
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 26.05.2019 | | Autor: | hippias |
Tip: Zeige zuerst, dass i) aus ii) folgt.
Ansonsten gilt die schöne Regel: keine Idee, keine Punkte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Mo 27.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum über einem
> Körper K und f ein Endo-
> morphismus von V . Zeigen Sie, daß äquivalent sind
> (i) Fur je zwei Basen A und B von V gilt Mf,A,A = Mf,B,B.
> (ii) Es gibt ein λ ∈ K mit f = λidV .
> Hallo!
>
> Leider habe ich Probleme diese Aufgabe zu verstehen und
> verstehe nicht wie ich diese Äquivalenz zeigen soll...
> Ich weiß, dass ein Endomorphismus bedeutet, dass es eine
> lineare Abbildung ist von V nach W, wobei V und W gleich
> sind. Leider fällt mir nicht mehr zu dieser Augabe ein,
> daher wäre ich sehr dankbar, falls mir jemand einen Ansatz
> liefern könnte.
>
> LG
>
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>
So einfach wie Hippias mach ich es mir nicht. Sei $n= [mm] \dim [/mm] V$ und [mm] E_n [/mm] die $n [mm] \times [/mm] n$ - Einheitsmatrix.
Schauen wir und die Implikation $( ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)$ an: es ist also $f= [mm] \lambda id_V$ [/mm] mit einem $ [mm] \lambda \in [/mm] K.$ Ist nun B eine Basis von V, so ist leicht zu sehen, dass [mm] M_{f,B,B}=\lambda E_n [/mm] ist. Begründe dies !
Zur Implikation $( i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)$. Sei [mm] $B=\{b_1,...., b_n\}$ [/mm] eine Basis von V. Dann ist auch [mm] $A=\{-b_1,...., b_n\}$ [/mm] eine Basis von V.
Zeige nun mit [mm] M_{f,B,B}=M_{f,A,A}, [/mm] dass es ein [mm] \alpha_1 \in [/mm] K gibt mit [mm] f(b_1)= \alpha_1 b_1.
[/mm]
Genauso sieht man: es ex. [mm] \alpha_2,...., \alpha_n \in [/mm] K mit [mm] f(b_j)=\alpha_j b_j [/mm] für j=2,...,n.
Fazit: [mm] M_{f,B,B}= diag(\alpha_1,....,\alpha_n).
[/mm]
Zeige nun Du: [mm] \alpha_1 [/mm] = .... = [mm] \alpha_n.
[/mm]
Mit [mm] \lambda:= \alpha_1 [/mm] ist dann [mm] M_{f,B,B}= \lambda E_n.
[/mm]
Damit folgt: $f= [mm] \lambda id_V.$
[/mm]
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Vielen Dank für deine Antwort, ich werde dein Konstrukt nutzen und daraus meine Letzendliche Antwort zu Formen.
Bei Rückfragen melde ich mich wieder.
Liebe Grüße > > Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum über einem
> > Körper K und f ein Endo-
> > morphismus von V . Zeigen Sie, daß äquivalent sind
> > (i) Fur je zwei Basen A und B von V gilt Mf,A,A =
> Mf,B,B.
> > (ii) Es gibt ein λ ∈ K mit f = λidV .
> > Hallo!
> >
> > Leider habe ich Probleme diese Aufgabe zu verstehen und
> > verstehe nicht wie ich diese Äquivalenz zeigen soll...
> > Ich weiß, dass ein Endomorphismus bedeutet, dass es
> eine
> > lineare Abbildung ist von V nach W, wobei V und W gleich
> > sind. Leider fällt mir nicht mehr zu dieser Augabe ein,
> > daher wäre ich sehr dankbar, falls mir jemand einen Ansatz
> > liefern könnte.
> >
> > LG
> >
> >
> > (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.)
> >
> So einfach wie Hippias mach ich es mir nicht. Sei [mm]n= \dim V[/mm]
> und [mm]E_n[/mm] die [mm]n \times n[/mm] - Einheitsmatrix.
>
> Schauen wir und die Implikation [mm]( ii) \Rightarrow (i)[/mm] an:
> es ist also [mm]f= \lambda id_V[/mm] mit einem [mm]\lambda \in K.[/mm] Ist
> nun B eine Basis von V, so ist leicht zu sehen, dass
> [mm]M_{f,B,B}=\lambda E_n[/mm] ist. Begründe dies !
>
> Zur Implikation [mm]( i) \Rightarrow (ii)[/mm]. Sei [mm]B=\{b_1,...., b_n\}[/mm]
> eine Basis von V. Dann ist auch [mm]A=\{-b_1,...., b_n\}[/mm] eine
> Basis von V.
>
> Zeige nun mit [mm]M_{f,B,B}=M_{f,A,A},[/mm] dass es ein [mm]\alpha_1 \in[/mm]
> K gibt mit [mm]f(b_1)= \alpha_1 b_1.[/mm]
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> Genauso sieht man: es ex. [mm]\alpha_2,...., \alpha_n \in[/mm] K mit
> [mm]f(b_j)=\alpha_j b_j[/mm] für j=2,...,n.
>
> Fazit: [mm]M_{f,B,B}= diag(\alpha_1,....,\alpha_n).[/mm]
>
> Zeige nun Du: [mm]\alpha_1[/mm] = .... = [mm]\alpha_n.[/mm]
>
> Mit [mm]\lambda:= \alpha_1[/mm] ist dann [mm]M_{f,B,B}= \lambda E_n.[/mm]
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> Damit folgt: [mm]f= \lambda id_V.[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:35 Mi 29.05.2019 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred,
> Zeige nun mit [mm]M_{f,B,B}=M_{f,A,A},[/mm] dass es ein [mm]\alpha_1 \in[/mm]
> K gibt mit [mm]f(b_1)= \alpha_1 b_1.[/mm]
Daran scheitere ich im Falle der Charakteristik 2 des Körpers K. Kannst du diesen Teil genauer ausführen?
Ich selbst habe die Aufgabe übrigens anders gelöst:
Gegeben eine Basis [mm] $(b_1,\ldots,b_n)$ [/mm] und [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $i\neq [/mm] j$ habe ich die Basis [mm] $(a_1,\ldots,a_n)$ [/mm] mit [mm] $a_i:=b_i+b_j$ [/mm] und [mm] $a_k:=b_k$ [/mm] für [mm] $k\neq [/mm] i$ betrachtet.
Übrigens ist der Fall n=0 (sowohl bei deinem Weg als auch bei meinem) gesondert zu behandeln.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Mi 29.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > Zeige nun mit [mm]M_{f,B,B}=M_{f,A,A},[/mm] dass es ein [mm]\alpha_1 \in[/mm]
> > K gibt mit [mm]f(b_1)= \alpha_1 b_1.[/mm]
Hallo Tobias,
> Daran scheitere ich im
> Falle der Charakteristik 2 des Körpers K. Kannst du diesen
> Teil genauer ausführen?
Du hast recht. An diesen Fall hab ich nicht gedacht. Ich denke drüber nach.
>
> Ich selbst habe die Aufgabe übrigens anders gelöst:
> Gegeben eine Basis [mm](b_1,\ldots,b_n)[/mm] und
> [mm]i,j\in\{1,\ldots,n\}[/mm] mit [mm]i\neq j[/mm] habe ich die Basis
> [mm](a_1,\ldots,a_n)[/mm] mit [mm]a_i:=b_i+b_j[/mm] und [mm]a_k:=b_k[/mm] für [mm]k\neq i[/mm]
> betrachtet.
Das ist eine gute Idee !
>
> Übrigens ist der Fall n=0 (sowohl bei deinem Weg als auch
> bei meinem) gesondert zu behandeln.
Muß man den Fall [mm] $\dim [/mm] V=0$ wirklich behandeln ?
Gruß FRED
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mi 29.05.2019 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine prompte Antwort, die meine Frage geklärt hat. 
> > Übrigens ist der Fall n=0 (sowohl bei deinem Weg als auch
> > bei meinem) gesondert zu behandeln.
>
> Muß man den Fall [mm]\dim V=0[/mm] wirklich behandeln ?
Zumindest sollte man aus meiner Sicht explizit darauf hinweisen, dass der Fall dim V=0 vergleichsweise einfach sei und daher nicht näher behandelt wird. Dann kann man mit "Sei nun [mm] $\dim V\neq0$." [/mm] die Kernargumentation einleiten.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:07 Mi 29.05.2019 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich habe die Diskussion über eigene Lösungsansätze versteckt. Zum einen hat sie den Thread zugemüllt mit künstlicher Aufregung, zum anderen drohte das Ganze auszuarten.
Eigene Lösungsansätze sind gemäß unserer Etiquette erwünscht. Es steht trotzdem jedem User zu jeder Zeit frei auch auf Fragen ohne Lösungsansätze zu antworten.
LG,
ChopSuey
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