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| Aufgabe | Berechne für [mm] $f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$
[/mm]
[mm] $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| 0
[mm] $\int_D f\, d\mu$ [/mm] |
Hallo,
ich möchte folgendes Integral berechnen.
Dazu benutze ich den Transformationssatz und Polarkoordinaten.
Ich nehme also die Abbildung
[mm] $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$
[/mm]
[mm] $(x,y)\mapsto (r\cos(\phi), r\sin(\phi))$
[/mm]
mit $0<r<1$ und [mm] $0<\phi<2\pi$
[/mm]
Ich bestimme die Jacobi-Matrix:
[mm] $Dg(r,\phi)=\begin{pmatrix} -r\sin(\phi)&\cos(\phi)\\r\cos(\phi)&\sin(\phi)\end{pmatrix}$
[/mm]
Es ist [mm] $|det(Dg(r,\phi)|=r$
[/mm]
Nun wende ich den Transformationssatz an:
[mm] $\int_0^1\int_0^{2\pi} r\frac{1}{\sqrt{1-r^2\cos(\phi)^2-r^2\sin(\phi)^2}}\, d\phi\, [/mm] dr$
[mm] $=\int_0^1\int_0^{2\pi} r\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\, d\phi\, [/mm] dr$
Das innere Integral hängt von [mm] $\phi$ [/mm] nicht ab. Es ergibt sich:
[mm] $2\pi\int_0^1 \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\, [/mm] dr$
Ich substituiere [mm] $t=\sqrt{1-r^2}$
[/mm]
[mm] $t'=\frac{-2r}{2\sqrt{1-r^2}}=\frac{-r}{\sqrt{1-r^2}}=\frac{dt}{dr}$
[/mm]
Wenn ich dies umstelle erhalte ich [mm] $-\frac{t}{r}dt=dr$
[/mm]
Also
[mm] $2\pi\int_0^1 \frac{r}{t}\cdot (-\frac{t}{r})\, dt=-2\pi$
[/mm]
Es sollte aber doch als Ergebnis [mm] $2\pi$ [/mm] herauskommen und ich muss irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht haben. Ich finde ihn jedoch leider nicht. Dabei sollte eigentlich klar sein, dass er nach der Substitution auftritt, aber eigentlich sollten auch dort meine Rechnungen richtig sein, weil ich die Ableitung richtig gebildet habe, oder übersehe ich etwas?
Über eine Korrektur würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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Hiho,
> Ich substituiere [mm]t=\sqrt{1-r^2}[/mm]
die deutlich einfachere Substitution hier wäre [mm] $t=1-r^2$ [/mm] gewesen....
> ich muss irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht haben.
Schau dir mal deine Integralgrenzen vor und nach der Substitution nochmal genau an.
Gruß,
Gono
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Oh, natürlich...
Ich muss selbstverständlich die Integralgrenzen mit substituieren.
Die müssen dann [mm] $\int_1^0=-\int_0^1$ [/mm] lauten, mal salopp aufgeschrieben.
Damit passt es dann wieder.
Vielen Dank.
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