Transitiv, Isotropiegruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 So 08.11.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Die Gruppe G operiere transitiv auf der Menge M.
Für alle x [mm] \in [/mm] M und alle a [mm] \in [/mm] G gilt [mm] G_{a*x}=a*G_x*a^{-1}, [/mm] d.h. die Isotropiegruppen sind alle zueinander konjugiert. |
Hallo,
Trotz der Einfachheit der Aussage komme ich nicht weiter..
[mm] \supseteq)
[/mm]
Sei [mm] s\in aG_x a^{-1} [/mm] d.h. [mm] s=aga^{-1} [/mm] mit g [mm] \in G_x
[/mm]
[mm] s(ax)=(sa)x=((aga^{-1})a)x=(aga^{-1}a)x=(ag)x=a(gx)=ax \rightarrow [/mm] s [mm] \in G_{ax}
[/mm]
[mm] \subseteq)
[/mm]
Sei [mm] s\in G_{ax} [/mm] d.h. s(ax)=ax
[mm] \iff [/mm] (sa)x=ax
[mm] \iff a^{-1} ((sa)x)=a^{1} [/mm] (ax)
[mm] \iff (a^{-1} [/mm] (s a)) [mm] x=(a^{-1} [/mm] a) x
[mm] \iff (a^{-1} [/mm] s a) x=e x
[mm] \iff (a^{-1} [/mm] s a) x=x
d.h. [mm] a^{-1} [/mm] s a [mm] \in G_x
[/mm]
Frage Nun komme ich nicht drauf wie ich die Transitivität ins Spiel bringe:Für alle k,l [mm] \in [/mm] M gibt es ein g [mm] \in [/mm] G: g*k=l
[mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] G: gx=x so erhalte ich [mm] (a^{-1} [/mm] s a ) x= gx
Aber ich kann doch nicht zu dem Mengenelement x ein inverses finden um s in geeignete Form zu bringen?
LG,
sissi
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Hallo,
die Formel für die Isotropiegruppe von $ax$ gilt immer. Die Transitivität sagt dir nur, dass tatsächlich jedes Element der Menge, auf der operiert wird, von der Form $ax$ ist für ein [mm] $a\in [/mm] G$ ($x$ ist die ganze Zeit fixiert). Zusammen mit der Formel liefert das dann, dass alle Isotropiegruppen konjugiert sind.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 So 08.11.2015 | | Autor: | sissile |
Es steht noch dabei:
Frage 1 Was bedeutet, dass für die Operation: [mm] S_n [/mm] operiert auf [mm] \{1,..,n\} [/mm] mittel [mm] (\sigma, [/mm] i) [mm] \maptso \sigma(i)?
[/mm]
Ich bin etwas überfragt, wass hier genau verlangt ist.
Seien i,j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] beliebig so ist die Transposition [mm] \tau=(ij)\in S_n [/mm] und [mm] \tau(i)=j, [/mm] also ist die Operation transitiv.
Seien i,j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] beliebig so folgt daraus, dass die Gruppe, der Permutationen die i fix halten kongugiert sind zu der Gruppe, der Permutationen die j fix halten.
Frage 2 Was bedeutet, dass für die Operation: [mm] D_n [/mm] (Diedergruppe) operiert auf [mm] \{1,..,n\} [/mm] mittel [mm] (\sigma, [/mm] i) [mm] \maptso \sigma(i)?
[/mm]
Ist doch ebenfalls konjungiert: Seien i,j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] beliebig mit o.b.d.A i<j, [mm] \alpha:=(1 [/mm] 2 .. [mm] n)\in D_n [/mm] so ist [mm] \alpha^{j-i} [/mm] (i)=i+(j-i)=j
Hier würde ich das selbe wie oben schreiben ;/
LG,
sissi
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> Es steht noch dabei:
> Frage 1 Was bedeutet, dass für die Operation: [mm]S_n[/mm]
> operiert auf [mm]\{1,..,n\}[/mm] mittel [mm](\sigma,[/mm] i) [mm]\maptso \sigma(i)?[/mm]
>
> Ich bin etwas überfragt, wass hier genau verlangt ist.
> Seien i,j [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] beliebig so ist die Transposition
> [mm]\tau=(ij)\in S_n[/mm] und [mm]\tau(i)=j,[/mm] also ist die Operation
> transitiv.
> Seien i,j [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] beliebig so folgt daraus, dass
> die Gruppe, der Permutationen die i fix halten kongugiert
> sind zu der Gruppe, der Permutationen die j fix halten.
Ich weiß jetzt nicht genau, was hiervon dir unklar ist. Sind $i$, $j$ Elemente der Menge [mm] $\{1,\dots,n\}$, [/mm] auf der operiert wird, so gibt es ein Element der operierenden Gruppe [mm] $S_n$, [/mm] nämlich $(ij)$, welches $i$ auf $j$ schickt. Das ist doch die Definition von Transitivität.
Und die Isotropiegruppe von $i$ ist die Gruppe [mm] $G_i$ [/mm] aller Permutationen [mm] $\sigma$ [/mm] mit [mm] $\sigma [/mm] i=i$. Aus der Aufgabe aus dem Themenstart folgt, dass [mm] $G_i$ [/mm] und [mm] $G_j$ [/mm] immer konjugiert sind.
Edit: Ich habe wohl beim Antworten nicht recht verstanden, was genau die Aufgabe, und was deine Antwort war. Also ja, alles was du schreibst ist richtig.
> Frage 2 Was bedeutet, dass für die Operation: [mm]D_n[/mm]
> (Diedergruppe) operiert auf [mm]\{1,..,n\}[/mm] mittel [mm](\sigma,[/mm] i)
> [mm]\maptso \sigma(i)?[/mm]
> Ist doch ebenfalls konjungiert: Seien
> i,j [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] beliebig mit o.b.d.A i<j, [mm]\alpha:=(1[/mm] 2
> .. [mm]n)\in D_n[/mm] so ist [mm]\alpha^{j-i}[/mm] (i)=i+(j-i)=j
> Hier würde ich das selbe wie oben schreiben ;/
Das ist richtig. Ist dir auch klar, was hier geometrisch passiert? Wenn ja, ist doch alles Paletti. Oder wird bei dir behauptet, dass die Diedergruppe nicht transitiv operiert?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> LG,
> sissi
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 So 08.11.2015 | | Autor: | sissile |
Alles klar,
danke!
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 So 08.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Die Gruppe G operiere transitiv auf der Menge M.
> Für alle x [mm]\in[/mm] M und alle a [mm]\in[/mm] G gilt
> [mm]G_{a*x}=a*G_x*a^{-1},[/mm] d.h. die Isotropiegruppen sind alle
> zueinander konjugiert.
> [mm]\supseteq)[/mm]
> Sei [mm]s\in aG_x a^{-1}[/mm] d.h. [mm]s=aga^{-1}[/mm] mit g [mm]\in G_x[/mm]
>
> [mm]s(ax)=(sa)x=((aga^{-1})a)x=(aga^{-1}a)x=(ag)x=a(gx)=ax \rightarrow[/mm]
> s [mm]\in G_{ax}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\subseteq)[/mm]
> Sei [mm]s\in G_{ax}[/mm] d.h. s(ax)=ax
> [mm]\iff[/mm] (sa)x=ax
> [mm]\iff a^{-1} ((sa)x)=a^{1}[/mm] (ax)
> [mm]\iff (a^{-1}[/mm] (s a)) [mm]x=(a^{-1}[/mm] a) x
> [mm]\iff (a^{-1}[/mm] s a) x=e x
> [mm]\iff (a^{-1}[/mm] s a) x=x
> d.h. [mm]a^{-1}[/mm] s a [mm]\in G_x[/mm]
Du hast also ein Element [mm] $a^{-1}sa\in G_x$ [/mm] gefunden.
Ziel ist ja, [mm] $s\in aG_xa^{-1}$ [/mm] zu zeigen, also die Existenz eines [mm] $g\in G_x$ [/mm] mit [mm] $s=aga^{-1}$.
[/mm]
Einen Kandidaten für ein solches $g$ hast du ja...
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 So 08.11.2015 | | Autor: | sissile |
Danke
Ja, der letzte Schritt war auch die ganze Zeit in meinen Kopf. Aber ich dachte die Formel gilt nur für eine transitive Operation und deshalb dachte ich es wäre falsch so.
LG,
sissi
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