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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 So 04.06.2006 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass [mm] S_p =<\tau [/mm] , [mm] \sigma> [/mm] , wobei [mm] \tau [/mm]
[mm] \in S_p [/mm] eine Transposition und [mm] \sigma \in S_p [/mm] ein Element der Ordnung p ist. |
bedeutet das [mm] S_p [/mm] = { [mm] \tau, \tau^2, \sigma, \sigma^2,...,\sigma *\tau, [/mm] ...} ?
Und dann muss ich noch zeigen, dass [mm] S_p [/mm] abgeschlossen bzgl der Komposition von diesen Elementen ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass [mm]S_p =<\tau[/mm] , [mm]\sigma>[/mm]
> , wobei [mm]\tau[/mm]
> [mm]\in S_p[/mm] eine Transposition und [mm]\sigma \in S_p[/mm] ein Element
> der Ordnung p ist.
>
> bedeutet das [mm]S_p = \{ \tau, \tau^2, \sigma, \sigma^2,...,\sigma\tau, ...\}[/mm] ?
Fast. Das bedeutet, dass jedes Element aus [mm] $S_p$ [/mm] als Produkt von [mm] $\tau$, $\sigma$ [/mm] und deren Inversen dargestellt werden kann.
> Und dann muss ich noch zeigen, dass [mm]S_p[/mm] abgeschlossen
> bzgl der Komposition von diesen Elementen ist?
Nein.
So kannst du vorgehen:
- Zeige zuerst, dass jede Transposition, die $1$ mit $k$ vertauscht, in [mm] $\langle \sigma, \tau \rangle$ [/mm] liegt.
- Zeige, dass jede Transposition, die $i$ mit $j$ vertauscht ($i [mm] \neq [/mm] j$), in [mm] $\langle \sigma, \tau \rangle$ [/mm] liegt.
- Jetzt musst du wissen, dass du jedes Element aus [mm] $S_p$ [/mm] als Produkt von Transpositionen schreiben kannst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 08.06.2006 | | Autor: | ck2000 |
Vielen Dank für die Tipps!
Haben mir sehr geholfen und zu neuen Fragen geführt, die mir vorher gar nicht eingefallen wären.
Man kann eine beliebige Transposition (i j) immer so schreiben laut unserer Vorlesung:
(i j) = (1 i) (1 j) (1 i)
Deswegen muss ich zeigen, dass (1 k) [mm] \in S_p [/mm] liegt?
Oder bedeutet das, dass für beliebiges k ich (1 k) so schreiben kann, dass ich eine bestimmte Transposition [mm] \tau [/mm] bekomme? Und ich habe es also so gezeigt?
Aus p Primzahl folgt, [mm] S_p [/mm] ist zyklisch und aus dem Satz von Lagrange folgt, [mm] S_p [/mm] ist abelsch.
Genügt es dann, wenn ich mir die Aufgabe ansehe, die heißt:
Zeigen Sie, dass die symmetrische Gruppe [mm] S_n [/mm] durch die Transposition (1 2) und den Zyklus (123...n) erzeugt wird.
Das kann ich beweisen. Kann ich dann daraus und aus dem obigen folgern, dass das für [mm] S_p [/mm] auch gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo ck2000,
[mm] $S_{p}$ [/mm] ist nicht zyklisch (Ordnung ist p!, nicht p)und auch nicht abelsch. Trotzdem genügt es zu zeigen, dass (1,2) und (1,2,...,p) die [mm] $S_{p}$ [/mm] erzeugen, denn:
- [mm] $\sigma$ [/mm] ist von der Ordnung p, also ein p-Zykel
- wenn [mm] $\sigma$ [/mm] oft genug potenzierst, erhälst du ein p-Zykel (weil p prim ist!), in dem die Elemente i und j, die [mm] $\tau$ [/mm] vertauscht, aufeinanderfolgen, sodass du sie auch an den Anfang schreiben kannst. Jetzt hast du [mm] $\tau=(i,j)$ [/mm] und [mm] $\sigma=(i,j,\dots)$, [/mm] woraus die Behauptung aus obigem folgt.
Viele Grüße,
Jan
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