Transzendenz von e^{1/q} < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich möchte zeigen, dass [mm] e^{1/q} [/mm] transzendent ist.
Meine Idee ist: Ich nehme das Gegenteil an, also dass [mm] e^{1/q}, [/mm] q eine natürliche Zahl, die nicht null ist, algebraisch ist und möchte darauf schliessen, dass e algebraisch ist, was wiederum zu einem Widerspruch führen würde.
Leider steht mir nicht viel Werkzeug zur Verfügung. Ich denke, dass dieser Satz hilfreich ist: a,b algebraisch über K [mm] \gdw [/mm] a+b, a*b algebraisch über K.
Kann ich daraus folgern: [mm] e^{1/q} [/mm] algebraisch [mm] \Rightarrow (e^{1/q})^q [/mm] algebraisch
[mm] (e^{1/q})^q [/mm] wäre ja dann wiederum e. Ist aber diese Argumentation gültig. Darf ich diesen Satz in diesem Kontext anwenden? Oder erfülle ich eine Bedingung nicht? Oder gibt es einen abstrakten Ansatz?
Würde mich über Ideen freuen! Vielen DAnk
Euer
GorkyPark
P.S: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mi 12.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo GorkyPark
> ich möchte zeigen, dass [mm]e^{1/q}[/mm] transzendent ist.
>
> Meine Idee ist: Ich nehme das Gegenteil an, also dass
> [mm]e^{1/q},[/mm] q eine natürliche Zahl, die nicht null ist,
> algebraisch ist und möchte darauf schliessen, dass e
> algebraisch ist, was wiederum zu einem Widerspruch führen
> würde.
Ok.
> Leider steht mir nicht viel Werkzeug zur Verfügung. Ich
> denke, dass dieser Satz hilfreich ist: a,b algebraisch über
> K [mm]\gdw[/mm] a+b, a*b algebraisch über K.
>
> Kann ich daraus folgern: [mm]e^{1/q}[/mm] algebraisch [mm]\Rightarrow (e^{1/q})^q[/mm]
> algebraisch
> [mm](e^{1/q})^q[/mm] wäre ja dann wiederum e. Ist aber diese
> Argumentation gültig. Darf ich diesen Satz in diesem
> Kontext anwenden? Oder erfülle ich eine Bedingung nicht?
> Oder gibt es einen abstrakten Ansatz?
Das ist so richtig, du darfst das so machen.
LG Felix
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