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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:48 So 21.05.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Folgendes haben wir in der Vorlesung aufgeschrieben, und ich verstehe den "Beweis" nicht so ganz. In einer Übungsaufgabe muss ich das wohl auf eine ähnliche Situation übertragen, da wäre es wohl sinnvoll, wenn ich das verstanden habe.
Definition (Trapezsumme)
[mm] T(h):=\summe_{i=0}^{n-1}I_i=h[\bruch{f(a)}{2}+f(a+h)+f(a+2h)+...+\bruch{f(b)}{2}] [/mm]
Fehlerbetrachtung: in jedem Teilintervall [mm] [x_i,x_{i+1}]
[/mm]
[mm] I_i-\integral_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx=\bruch{h^3}{12}f^{(2)}(\xi_i) \;\;\; \xi_i\in(x_i,x_{i+1}) [/mm]
Somit für [mm] f\in C^2[a,b]:
[/mm]
[mm] T(h)-\integral_a^bf(x)dx=\bruch{h^2}{12}(b-a)*\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{1}{N}f^{(2)}(\xi_i)=\bruch{h^2}{12}(b-a)f^{(2)}(\xi)\;\;\;\xi\in(a,b) [/mm]
denn [mm] \min_if^{(2)}(\xi_i)\le\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{1}{N}f^{(2)}(\xi_i)\le\max_if^{(2)}(\xi_i)
[/mm]
[mm] \underbrace{\Rightarrow}_{f^{(2)} stetig} \exists \xi\in(\min_i\xi_i, \max_i\xi_i)\subset(a,b) \; [/mm] mit [mm] f^{(2)}(\xi)=\bruch{1}{N}\summe_{i=0}^{n-1}f^{(2)}(\xi_i)
[/mm]
h ist die Schrittweite, aber was ist N? Das habe ich irgendwie nirgendwo gefunden :-( Und irgendwas muss für dieses N wohl noch gelten, oder wie kommt man auf die Formel hinter "Somit für [mm] f\in C^2[a,b]:"? [/mm] Unser Prof hatte dazu noch erklärt, dass das dritte h (von den [mm] h^3 [/mm] in der Zeile drüber) in dem (b-a) zusammen mit dem [mm] \bruch{1}{N} [/mm] in der Summe verschwunden ist, aber da ich nicht weiß, was das N ist, verstehe ich das nicht so ganz.
Und was genau sollen mir die letzten beiden Zeilen sagen?
Viele Grüße und noch eine gute Nacht bzw. einen schönen Sonntag. 
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
N ist einfach die Anzahl der Teilintervalle. Also gilt [mm] h=\bruch{b-a}{N} [/mm] . Das dies aber die gleiche Bedeutung hat wie das kleine n ist sicher verwirrend. Die letzten beiden Zeilen sollen wohl das letzte "=" der vorhergehenden Zeile erklären.
Alle Fragen beantwortet?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo mathemaduenn!
> N ist einfach die Anzahl der Teilintervalle. Also gilt
> [mm]h=\bruch{b-a}{N}[/mm] . Das dies aber die gleiche Bedeutung hat
> wie das kleine n ist sicher verwirrend. Die letzten beiden
Aber wie kann das denn sein? Und vor allem: wieso macht man das dann? Wieso nimmt man zwei unterschiedliche N's???
> Zeilen sollen wohl das letzte "=" der vorhergehenden Zeile
> erklären.
> Alle Fragen beantwortet?
Nein, denn genau diese Erklärung verstehe ich nicht. Mag sein, dass mir da einfach Analysis-Kenntnisse fehlen, aber ich habe es auch nicht geschafft, das auf meine Aufgabe zu übertragen.
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiane,
Ich weiß noch nicht so genau was die eigentliche Frage ist. Erstmal noch eine Erklärung der letzten 2 Zeilen.
[mm]\min_if^{(2)}(\xi_i)\le\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{1}{N}f^{(2)}(\xi_i)\le\max_if^{(2)}(\xi_i)[/mm]
Eine Summe über n Summanden ist größer als n mal der kleinste Summand und kleiner als n mal der größte Summand.
> [mm]\underbrace{\Rightarrow}_{f^{(2)} stetig} \exists \xi\in(\min_i\xi_i, \max_i\xi_i)\subset(a,b) \;[/mm]
> mit
> [mm]f^{(2)}(\xi)=\bruch{1}{N}\summe_{i=0}^{n-1}f^{(2)}(\xi_i)[/mm]
Das ist der Zwischenwertsatz: Eine stetige Funktion nimmt jeden Zwischenwert an somit gibt es einen Punkt an dem der Wert [mm] \bruch{1}{N}\summe_{i=0}^{n-1}f^{(2)}(\xi_i) [/mm] angenommen wird.
viele grüße
mathemaduenn
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Ich denke, mittlerweile habe ich es verstanden.
