Trennung d. Var. nicht möglich < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo lieber Leser!
Ich habe hier im Prinzip ein relativ konkretes Problem bei einer DGL, die ich leider nicht lösen kann, aber unbedingt muss:.. ;-(
[mm] \dot a = \dot b - c * \bruch{a}{a+d} [/mm]
Dabei ist
# [mm] \dot b [/mm] zeitlich konstant,
# [mm] c [/mm] eine konstante,
# [mm] d [/mm] nimmt linear mit der Zeit ab, d.h.: [mm] \dot d = const.[/mm]
Ich benötige eine Lösung für [mm] a [/mm].
Ein "Trennen der Variablen" führt mich hier leider nicht zum Ziel - wahrscheinlich, weil es das einzige Verfahren ist, dass mir noch halbwegs im Gedächnis geblieben ist..
Würde die Gleichung die "einfachere" Form
[mm] \dot a = \dot b - c *a [/mm] haben, könnte (selbst ich) durch einfaches "Trennen der Variablen" die Gleichung nach [mm] a [/mm] auflösen. Es würde sich folgende Lösung ergeben:
[mm] a = \bruch{\dot b}{c} \left( 1 - e^\left( -c*t \right) \right)[/mm]
Hast Du noch eine Idee, wie ich die kompliziertere Version (s.o.) lösen kann? Es wäre auch nett, wenn Du mir dabei (ausnahmsweise) vielleicht etwas mehr helfen könntest, da ich die Lösung zeitnah benötige und z.Zt. leider wirklich (!!) keine Zeit habe, mir die Problematik der DGL's nocheinmal zu Gemüte zu führen. Ich fürchte, ich benötige also RICHTIGE Hilfe, wenn sich das komplizierter gestalten sollte..
Ich hoffe, Du kannst mir in dieser Angelegenheit helfen.
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 So 06.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Glueckskeks!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich habe deinen Artikel aus dem Schul-Analysis-Forum gelöscht. Es genügt vollkommen, wenn du deine Frage einmal in einem Forum stellst (und ich denke, deine ist im Uni-Bereich besser aufgehoben)!
Viele Grüße,
Marcel
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..habt Ihr wirklich auch keine Ahnung, wie man diese DGL lösen kann? ..oder sucht Ihr aufgrund des Titels nach Möglichkeiten, hier die "Trennung der Variablen" anzuwenden??
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Hallo,
bringe die DGL auf die Form
[mm]\frac{{da}}
{{dt}}\; = \;\frac{{\alpha _{2} \;t\; + \;\beta _{2} \;a\; + \;\gamma _{2} }}
{{\alpha _{1} \;t\; + \;\beta _{1} \;a\; + \;\gamma _{1} }}[/mm]
Ist die Determinante [mm]\left| {\begin{array}{*{20}c}
{\alpha _{2} } & {\beta _{2} } \\
{\alpha _{1} } & {\beta _{1} } \\
\end{array} } \right|\; \ne \;0[/mm]
so hat das lineare Gleichungssystem
[mm]\begin{gathered}
\alpha _2 \;t\; + \;\beta _2 \;a\; + \;\gamma _2 \; = \;0 \hfill \\
\alpha _1 \;t\; + \;\beta _1 \;a\; + \;\gamma _1 \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
genau eine Lösung [mm]t_{0}, a_{0}[/mm].
Ist die Determinante null so führt das auf bekannte Typen.
Werden die Lösungskurven in einem parallel verschoben [mm]\[
\left( {\overline t ,\;\overline a } \right)[/mm]-Koordinatensystem mit dem Nullpunkt an der Stelle [mm]\left( {t_0 ,\;a_0 } \right)[/mm] dargestellt. so gilt:
[mm]\overline a \left( {\overline t } \right)\; = \;a\left( {\overline t \; + \;t_{0} } \right)\; - \;a_{0}[/mm]
Für die DGL gilt dann:
[mm]
\begin{gathered}
\frac{{d\overline a \left( {\overline t } \right)}}
{{d\overline t }}\; = \;f\left( {\frac{{\alpha _{2} \;\left( {\overline t \; + \;t_{0} } \right)\; + \;\beta _{2} \;\left( {\overline a \; + \;a_{0} } \right)\; + \;\gamma _{2} }}
{{\alpha _{1} \;\left( {\overline t \; + \;t_{0} } \right)\; + \;\beta _{1} \;\left( {\overline a \; + \;a_{0} } \right)\; + \;\gamma _{1} }}} \right) \hfill \\
= \;f\left( {\frac{{\alpha _{2} \;\overline t \; + \;\beta _{2} \;\overline a \left( {\overline t } \right)}}
{{\alpha _{1} \;\overline t \; + \;\beta _{1} \;\overline a \left( {\overline t } \right)}}} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Durch eine weitere Substitution
[mm]
\begin{gathered}
\overline a \left( {\overline t } \right)\; = \;u\left( {\overline t } \right)\;\overline t \hfill \\
\frac{{d\overline a \left( {\overline t } \right)}}
{{d\overline t }}\; = \;\frac{{du\left( {\overline t } \right)}}
{{d\overline t }}\;\overline t \; + \;u\left( {\overline t } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
geht die DGL über in:
[mm]
\frac{{du\left( {\overline t } \right)}}
{{d\overline t }}\;\overline t \; + \;u\left( {\overline t } \right)\; = \;f\left( {\frac{{\alpha _2 \; + \;\beta _2 \;u\left( {\overline t } \right)}}
{{\alpha _1 \; + \;\beta _1 \;u\left( {\overline t } \right)}}} \right)[/mm]
welche sich nun leichter lösen läßt.
Gruß
MathePower
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