Trennungsaxiom < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeige:
Ein topologischer Raum erfüllt genau dann das Trennungsaxiom [mm] x\neq y\Rightarrow \overline{\{x\}}\neq\overline{\{y\}} [/mm] wenn er zu einem Unterraum einer Potenz des Sierpinksiraumes homöomorph ist. |
Ich muss zeigen, dass es einen Homöomorphismus vom Topologischen Raum (X,T) in eine Potenz des Sierpinskiraumes [mm] S=(2,\{ leere Menge, \{1\}, 2\}) [/mm] gibt genau dann wenn das Trennungsaxiom gilt.
Also in S gilt das Trennungsaxiom und daraus folgt die Rückrichtung.
Aber wie sehe ich, dass es einen Homöomorphismus gibt, wenn das Trennungsaxiom gilt?
Danke für eure Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 So 18.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige:
> Ein topologischer Raum erfüllt genau dann das
> Trennungsaxiom [mm]x\neq y\Rightarrow \overline{\{x\}}\neq\overline{\{y\}}[/mm]
> wenn er zu einem Unterraum einer Potenz des
> Sierpinksiraumes homöomorph ist.
> Ich muss zeigen, dass es einen Homöomorphismus vom
> Topologischen Raum (X,T) in eine Potenz des
> Sierpinskiraumes [mm]S=(2,\{ leere Menge, \{1\}, 2\})[/mm] gibt
> genau dann wenn das Trennungsaxiom gilt.
>
> Also in S gilt das Trennungsaxiom und daraus folgt die
> Rückrichtung.
>
> Aber wie sehe ich, dass es einen Homöomorphismus gibt,
> wenn das Trennungsaxiom gilt?
Wie die Abbildung aussieht ist ![[]](/images/popup.gif) hier beschrieben. Wenn du noch weiter ueberlegen willst: die Potenz des Sierprinskiraums muss ja irgendwie von $X$ und/oder $T$ abhaengen. Versuche mal eine injektive Abbildung $X [mm] \to S^T$ [/mm] zu finden.
LG Felix
|
|
|
|
