Treppenfunktionen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Mo 31.01.2011 | | Autor: | christi |
| Aufgabe | | Sei [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Raum und [mm] T^{+} [/mm] die Menge der nichtnegativen Treppenfunktionen auf X. Sei [mm] f\in{T^{+}} [/mm] und seien [mm] 0
[mm] \integral_{X}{fd\mu}=\summe_{j=1}^{n}(a_j-a_{j-1})\mu(\{x\in{X}:f(x)\ge{a_j}\}) [/mm] |
Hallo!
Bräuchte bei der Aufgabe eure Hilfe, würde mich sehr freuen, wenn mir jemand antworten würde...
Meine Überlegungen sind folgenden:
Nach Definition einer Treppenfunktion gilt es:
[mm] \integral_{[x_{j-1},x_j]}{fd\mu}=c_j(x_j-x_{j-1}), [/mm] wobei [mm] c_j [/mm] ist der Wert, den die Funktion auf dem Intervall [mm] [x_{j-1},x_j] [/mm] annimmt.
Somit kann man schreiben [mm] \integral_{X}{fd\mu}=\summe_{j=1}^{n}c_j\mu([x_{j-1},x_j]). [/mm] Es mir klar, dass ich diese Definition irgendwie anwenden muss, aber ich weiß nicht wie ich das machen soll.
Freue mich auf eure Hilfe.
Gruß
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Huhu,
ich schreib deinen Ansatz nochmal um:
> [mm]\integral_{X}{fd\mu}=\summe_{j=1}^{n}c_j\mu([x_{j-1},x_j]).[/mm]
Wobei hier ja gilt: [mm] $[x_{j-1},x_j] [/mm] = [mm] \{x\in{X}:f(x)=c_j\}$
[/mm]
Siehst du jetzt, wie du anfangen könntest?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 31.01.2011 | | Autor: | christi |
Hallo, Gono!!
Riiiesen Dank für deine Antwort!!
> ich schreib deinen Ansatz nochmal um:
>
> > [mm]\integral_{X}{fd\mu}=\summe_{j=1}^{n}c_j\mu([x_{j-1},x_j]).[/mm]
>
> Wobei hier ja gilt: [mm][x_{j-1},x_j] = \{x\in{X}:f(x)=c_j\}[/mm]
Ja das ist mir jetzt klar, ich messe damit qasi das Intervall wo f den Wert [mm] c_j [/mm] annimmt. Aber wenn ich größer gleich schreibe, dann ziehe ich damit alle [mm] x\in{X} [/mm] für die [mm] f(x)\ge{c_j} [/mm] auch mit ein, da liegen auch alle x für die gilt [mm] f(x)\ge{c_{j+1}} [/mm] und so weiter.
Deswegen, leuchtet das mir noch nicht wirklich ein...
> Siehst du jetzt, wie du anfangen könntest?
Vielen Dank noch mal
Gruß
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Huhu,
> Ja das ist mir jetzt klar, ich messe damit qasi das
> Intervall wo f den Wert [mm]c_j[/mm] annimmt. Aber wenn ich größer
> gleich schreibe, dann ziehe ich damit alle [mm]x\in{X}[/mm] für die
> [mm]f(x)\ge{c_j}[/mm] auch mit ein, da liegen auch alle x für die
> gilt [mm]f(x)\ge{c_{j+1}}[/mm] und so weiter.
Genau.
> Deswegen, leuchtet das mir noch nicht wirklich ein...
Naja, moment. In deiner Summe die du zeigen sollst, steht ja auch nicht [mm] a_j [/mm] davor sondern was anderes 
Bauen wir das Ding doch mal Induktiv:
Es gilt doch:
[mm] $\integral_X\;f\;d\mu [/mm] = [mm] a_1\mu\left(\{x\inX\,|\;f=a_1\}\right) [/mm] + [mm] a_2\mu\left(\{x\inX\,|\;f=a_2\}\right) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n\mu\left(\{x\inX\,|\;f=a_n\}\right)$
[/mm]
Nun wollen wir als "Maßvorgabe" aber nicht haben [mm] $\mu\left(\{x\inX\,|\;f=a_i\}\right)$ [/mm] sondern [mm] $\mu\left(\{x\inX\,|\;f\le a_i\}\right)$.
[/mm]
Wie kannst du denn [mm] $\mu\left(\{x\inX\,|\;f\le a_i\}\right)$ [/mm] mithilfe der [mm] $\mu\left(\{x\inX\,|\;f=a_i\}\right)$ [/mm] darstellen?
Benutze dabei: [mm] $a_1 [/mm] < [mm] a_2 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] a_n$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Mo 31.01.2011 | | Autor: | christi |
Sorry, Gono, ich habe das Zeichen verwechselt, es muss heißen [mm] f(x)\ge{a_j} [/mm] .
Sorry noch mal
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Di 01.02.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
das ändert aber gar nix
Stell halt mal [mm] $\{x\in X\,|\; f(x) \ge a_j\}$ [/mm] über die [mm] $\{x\in X\,|\; f(x) = a_j\}$ [/mm] dar.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 01.02.2011 | | Autor: | christi |
Hallo, Gono!!
Vielen Dank für deine Hilfe!!
> Huhu,
>
> das ändert aber gar nix
>
> Stell halt mal [mm]\{x\in X\,|\; f(x) \ge a_j\}[/mm] über die
> [mm]\{x\in X\,|\; f(x) = a_j\}[/mm] dar.
>
Kann ichh die Menge so darstellen:
[mm] \{x\in{X}:f(x)\ge{a_j}\}=\{x\in{X}:f(x)=a_j\}-\{x\in{X}:f(x)
Ist das richtig so?
Gruß
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Huhu,
> Kann ichh die Menge so darstellen:
>
> [mm]\{x\in{X}:f(x)\ge{a_j}\}=\{x\in{X}:f(x)=a_j\}-\{x\in{X}:f(x)
> Ist das richtig so?
Nein
Wenn $f(x) [mm] \ge a_j$, [/mm] welche Werte kann denn f(x) dann annehmen?
MFG,
Gono
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Huhu,
> Ich glaube f kann dann nur die werte [mm]a_j[/mm] und [mm]a_{j+1},[/mm]
> also:
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> [mm]\{x\in{X}:f(x)\ge{a_j}\}=\{x\in{X}:f(x)=a_j\}+\{x\in{X}:f(x)=a_{j+1}\}?[/mm]
Da glaubst du falsch.
$f(x) [mm] \ge a_j$ [/mm] heisst doch, dass f(x) alle Werte AB [mm] a_j [/mm] annehmen kann, also [mm] $a_j, a_{j+1},....,a_n$
[/mm]
Deine Idee das dann als Summe zu schreiben, ist schon korrekt.
D.h. formen wir die gegebene Summe mal solange um, dass zum Schluss die "normale" Definition des Integrals dasteht.
$ [mm] \integral_{X}{fd\mu}=\summe_{j=1}^{n}(a_j-a_{j-1})\mu(\{x\in{X}:f(x)\ge{a_j}\}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}(a_j-a_{j-1})\summe_{k=j}^n \mu(\{x\in{X}:f(x)={a_k}\}) =\ldots$
[/mm]
Na und nun mal du weiter
Was rauskommen soll, weisst du ja.
Schreib dir am besten auch mal die ersten 3 Summenglieder hin, dann siehst du, wie der Hase läuft
MFG,
Gono.
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
