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Triagonalisierung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 So 10.05.2015
Autor: Lara001

Aufgabe
Triagonalisieren sie die folgenden reellen Matrizen

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 },\pmat{ 5 & 2 & 1 \\ -8 & -3 & -2 \\ 7 & 4 & 3 } [/mm]

Zeigen sie zuerst, dass es möglich ist und geben sie die Matrix eines Basiswechsels an.

Hallo :)

also generell muss ich beim Nachweis auf Triagonalisierbarkeit ja zeigen, dass das ch. Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

wie ist das dann jetzt mit dem Basiswechsel? Ist damit die matrix gemeint die aus den Eigenvektoren entsteht?

LG :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Triagonalisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 So 10.05.2015
Autor: MathePower

Hallo Lara001,


[willkommenmr]


> Triagonalisieren sie die folgenden reellen Matrizen
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 },\pmat{ 5 & 2 & 1 \\ -8 & -3 & -2 \\ 7 & 4 & 3 }[/mm]
>  
> Zeigen sie zuerst, dass es möglich ist und geben sie die
> Matrix eines Basiswechsels an.
>  Hallo :)
>  
> also generell muss ich beim Nachweis auf
> Triagonalisierbarkeit ja zeigen, dass das ch. Polynom
> vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
>  


[ok]


> wie ist das dann jetzt mit dem Basiswechsel? Ist damit die
> matrix gemeint die aus den Eigenvektoren entsteht?

>


Nein, das  geht hier etwas anders.

Berechne zunächst einen Eigenvektor der Matrix A .

Ist der Eigenvektor [mm]\xi_{1}[/mm], dann ist eine erste Basis

[mm] B_1=[/mm] [mm]\left(\xi_{1}, \ e_{2}, \ e_{3}\right)[/mm]

,wobei [mm]e_{2], \ e_{3}[/mm] die Einheitsvektoren im [mm]IR^{3}[/mm] sind.

Berechne nun [mm]C=B_1^ {-1} \ A \ B_1[/mm]

Von dieser Matrix C wird die (2x2) Untermatrix gebildet:

[mm]A'=\pmat{C_{22} & C_{23} \\ C_{32 & C_{33}}}[/mm]

Von dieser Matrix  werden wiederum die Eigenwerte berechnet,
und die Eigenvektoren gebildet.

Ist der Eigenvektor [mm]\xi_{2}[/mm], dann lautet die  Basis

[mm]B_2=\left( \xi_{1}, \xi_{2}, \ e_{3}\right)[/mm]

Damit sollte dann die Matrix  A trigonalisiert sein.

> LG :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Triagonalisierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:29 So 10.05.2015
Autor: Lara001

danke :)

Bezug
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