Trigonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Trigonalisieren sie, wenn möglich die folgende Matrix und geben sie Matrizen S, S^-1 an , sodass SAS^-1 eine obere Dreiecksmatrix ist.
3 1 0
0 2 1
-1 -1 1
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Meine Vorgehensweise, nach dem Algorithmus in der VL
Berechne das charakteristische Polynom:
p(x)= (3-x)(x-2)(x-1) in Linearfaktorendarstellung.
Damit ist schon mal sicher, dass A trigonalisierbar ist.
Berechne eine Eigenvektor, wähle den Eigenwert 1:
A-I
2 1 0
0 1 1
-1 -1 0
Umformungen ergeben:
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Also (Eig,1) = <(0,0,1)>
Ergänze den Vektor zu einer Basis B' mit Vektoren der ursprünglichen Basis (hier der Standardbasis) Also B' = {(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)}
Stelle die Matrix T auf, bestehend aus Vektoren aus B'
0 1 0
0 0 1
1 0 0
Invertiere sie:
T^-1 =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
Nun müsste
T^-1AT ergeben, nach dem Algorithmus
1 1 0
0 a b
0 c d
Dabei ist a11 der EW, und a12 sowie a13 wurden von A übernommen,
Es müssen a21 und a21 null sein .
Nach meiner Rechnung ergibt sich aber:
T^-1*A=
-1 -1 1
3 1 0
0 2 1
und dann noch T ranmultiplizieren von rechts ergibt:
1 -1 -1
0 3 1
1 0 2
Hier sind ja einige Zahlen falsch 
Ich weiß aber nicht, wo mein Fehler ist, bzw. ob ich den Algorithmus überhaupt richtig verstanden hab.
Der Algortithmus geht natürlich noch weiter, aber bei mir hackts hier schon
Vielleicht kann mir einer weiterhelfen
Danke
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt
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Hallo margitbrunner,
> Trigonalisieren sie, wenn möglich die folgende Matrix und
> geben sie Matrizen S, S^-1 an , sodass SAS^-1 eine obere
> Dreiecksmatrix ist.
>
> 3 1 0
> 0 2 1
> -1 -1 1
>
> Meine Vorgehensweise, nach dem Algorithmus in der VL
>
> Berechne das charakteristische Polynom:
> p(x)= (3-x)(x-2)(x-1) in Linearfaktorendarstellung.
Das musst Du nochmal nachrechnen.
> Damit ist schon mal sicher, dass A trigonalisierbar ist.
>
> Berechne eine Eigenvektor, wähle den Eigenwert 1:
>
> A-I
>
> 2 1 0
> 0 1 1
> -1 -1 0
> Umformungen ergeben:
>
> 1 0 0
> 0 1 0
> 0 0 0
>
> Also (Eig,1) = <(0,0,1)>
>
> Ergänze den Vektor zu einer Basis B' mit Vektoren der
> ursprünglichen Basis (hier der Standardbasis) Also B' =
> {(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)}
>
> Stelle die Matrix T auf, bestehend aus Vektoren aus B'
>
> 0 1 0
> 0 0 1
> 1 0 0
>
> Invertiere sie:
>
> T^-1 =
> 0 0 1
> 1 0 0
> 0 1 0
>
> Nun müsste
> T^-1AT ergeben, nach dem Algorithmus
>
> 1 1 0
> 0 a b
> 0 c d
> Dabei ist a11 der EW, und a12 sowie a13 wurden von A
> übernommen,
> Es müssen a21 und a21 null sein .
> Nach meiner Rechnung ergibt sich aber:
>
> T^-1*A=
>
> -1 -1 1
> 3 1 0
> 0 2 1
>
> und dann noch T ranmultiplizieren von rechts ergibt:
>
> 1 -1 -1
> 0 3 1
> 1 0 2
>
> Hier sind ja einige Zahlen falsch
>
> Ich weiß aber nicht, wo mein Fehler ist, bzw. ob ich den
> Algorithmus überhaupt richtig verstanden hab.
> Der Algortithmus geht natürlich noch weiter, aber bei mir
> hackts hier schon
> Vielleicht kann mir einer weiterhelfen
>
> Danke
>
> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | | Fragestellung siehe. oben |
Habe soeben das charakteristische Polynom nachgerechnet und ich komme wieder aufs selbe Ergebnis
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Hallo margitbrunner,
> Fragestellung siehe. oben
> Habe soeben das charakteristische Polynom nachgerechnet
> und ich komme wieder aufs selbe Ergebnis
Dann poste mal Deine Rechenschritte.
Gruß
MathePower
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Hier die Rechenschritte für das charakteristische Polynom:
A-x*I
2-x 1 0
0 2-x 1
-1 -1 1-x
Berechne davon die Determinante, Entwicklung nach der ersten Spalte:
(3-x)* (((2-x)(1-x)+1)-1*1)
[mm] (3-x)*(2-2x-x+x^2+1-1)
[/mm]
[mm] (3-x)(x^2-3x+2)
[/mm]
Vom zweiten Faktor die Nullstellen berechnen:
Diskriminante = 1
Also sind die Nullstellen 2 und 1.
(3-x)(x-2)(x-1) ist das charakteristische Polynom, wie ich bereits rausbekommen habe.
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Hallo margitbrunner,
> siehe oben
> Hier die Rechenschritte für das charakteristische
> Polynom:
> A-x*I
> 2-x 1 0
> 0 2-x 1
> -1 -1 1-x
Das muss doch so heißen:
[mm]A-x*I=\pmat{\red{3}-x & 1 & 0 \\ 0 & 2-x & 1 \\ -1 & -1 & 1-x}[/mm]
> Berechne davon die Determinante, Entwicklung nach der
> ersten Spalte:
>
> (3-x)* (((2-x)(1-x)+1)-1*1)
>
> [mm](3-x)*(2-2x-x+x^2+1-1)[/mm]
>
> [mm](3-x)(x^2-3x+2)[/mm]
>
> Vom zweiten Faktor die Nullstellen berechnen:
>
> Diskriminante = 1
> Also sind die Nullstellen 2 und 1.
>
> (3-x)(x-2)(x-1) ist das charakteristische Polynom, wie ich
> bereits rausbekommen habe.
Und jetzt gibt es nämlich ein wunderbares Ergebnis.
Gruß
MathePower
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Hallo Margit,
du hast in deiner Rechnung eine entscheidende Klammer falsch gesetzt:
> siehe oben
> Hier die Rechenschritte für das charakteristische
> Polynom:
> A-x*I
> [mm] \red{3}-x [/mm] 1 0
> 0 2-x 1
> -1 -1 1-x
> Berechne davon die Determinante, Entwicklung nach der
> ersten Spalte:
>
$ [mm] (3-x)\cdot{}\red{[}(2-x)(1-x)+1\red{]} \quad -1\cdot{}1$
[/mm]
Die -1 am Ende gehört also nicht in die Klammer
Damit kommst du auch auf das von MathePower angesprochene "wunderbare Ergebnis" 
>
> [mm](3-x)*(2-2x-x+x^2+1-1)[/mm]
>
> [mm](3-x)(x^2-3x+2)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Vom zweiten Faktor die Nullstellen berechnen:
>
> Diskriminante = 1
> Also sind die Nullstellen 2 und 1.
>
> (3-x)(x-2)(x-1) ist das charakteristische Polynom, wie ich
> bereits rausbekommen habe.
Gruß
schachuzipus
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Ich bekomme dand das charakteristische Polynom
p(x) = [mm] (3-x)*(x^2-3x+3)-1
[/mm]
= [mm] -x^3 [/mm] + [mm] 6x^2 [/mm] -12x + 2
heraus.
Da p(x) keine Nullstellen hat und somit nicht in verschiedene Linearfaktoren zerfällt ist die Matrix nicht Trigonalisierbar. Stimmt das so?
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Hallo nochmal,
> siehe oben
> Ich bekomme dand das charakteristische Polynom
>
> p(x) = [mm](3-x)*(x^2-3x+3)-1[/mm]
>
> = [mm]-x^3[/mm] + [mm]6x^2[/mm] -12x + 2
ich komme da auf $+8$ am Ende, damit kannst du das char. Polynom schreiben als [mm] $p(x)=-(x-2)^3$
[/mm]
>
> heraus.
> Da p(x) keine Nullstellen hat und somit nicht in
> verschiedene Linearfaktoren zerfällt ist die Matrix nicht
> Trigonalisierbar. Stimmt das so?
>
Nee
LG
schachuzipus
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Ja das stimmt, das charakteristische Polynom ist tatsächlich
p(x) = [mm] -x^3+6x^2-12x+8 [/mm] = [mm] -(x-2)^3
[/mm]
Wenn man jetzt dem Algorithmus folgt, wie beim 1.Posting beschrieben gehts wie folgt weiter:
Berechne eine EV zum EW = 2
A-2*I
1 1 0
0 0 1
-1 -1 -1
Umformungen ergeben:
1 1 0
0 0 0
0 0 1
Also v3 = 0, v2 beliebig wählbar v2 = s und v1 = -s
Also ist ein EV v = (-1,1,0)
Ergänze durch Standardbasis vektoren zu einer Basis B'={v,e2,e3}
Stelle nun die Matrix T auf:
-1 0 0
1 1 0
0 0 1
Berechne davon die Inverse:
T^-1 =
-1 0 0
1 1 0
0 0 1
Multipliziere T^-1*A*T
Dies sollte
2 1 0
0 A'
0
ergeben, tut es aber nicht.
Meine Zwischenschritte.
T^-1*A =
-3 -1 0
3 3 1
-1 -1 1
und dann noch mal T
dann kommt in der ersten Zeile bereits was falsches raus.
2 -1 0
....
....
Ich verzweifle langsam
.... :-(
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Hallo margitbrunner,
> siehe oben
> Ja das stimmt, das charakteristische Polynom ist
> tatsächlich
> p(x) = [mm]-x^3+6x^2-12x+8[/mm] = [mm]-(x-2)^3[/mm]
>
> Wenn man jetzt dem Algorithmus folgt, wie beim 1.Posting
> beschrieben gehts wie folgt weiter:
> Berechne eine EV zum EW = 2
>
> A-2*I
>
> 1 1 0
> 0 0 1
> -1 -1 -1
>
> Umformungen ergeben:
>
> 1 1 0
> 0 0 0
> 0 0 1
>
> Also v3 = 0, v2 beliebig wählbar v2 = s und v1 = -s
>
> Also ist ein EV v = (-1,1,0)
> Ergänze durch Standardbasis vektoren zu einer Basis
> B'={v,e2,e3}
> Stelle nun die Matrix T auf:
> -1 0 0
> 1 1 0
> 0 0 1
>
> Berechne davon die Inverse:
>
> T^-1 =
> -1 0 0
> 1 1 0
> 0 0 1
>
> Multipliziere T^-1*A*T
> Dies sollte
> 2 1 0
> 0 A'
> 0
>
> ergeben, tut es aber nicht.
> Meine Zwischenschritte.
> T^-1*A =
>
> -3 -1 0
> 3 3 1
> -1 -1 1
>
> und dann noch mal T
>
> dann kommt in der ersten Zeile bereits was falsches raus.
> 2 -1 0
> ....
> ....
>
> Ich verzweifle langsam
> .... :-(
Sei [mm]C:=A-2*I[/mm]
Dann ist
[mm]C^{0} \not= 0, \ C^{1}\not=0, \ C^{2}\not= 0,\ C^{3}=0[/mm]
Das heißt C ist nilpotent vom ![[]](/images/popup.gif) Nilpotenzgrad 3.
Wähle daher einen Vektor [mm]v \not= 0[/mm] aus Kern[mm]\left(C^{3}\right)[/mm]
Dann ergibt sich die Basis T zu
[mm]T=\pmat{v, \ Cv, \ C^{2}v}[/mm]
Gruß
MathePower
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