Trigonometische Gleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben: [mm] \psi(x,y,t)=sinxcosycos(x+y)cos(x-y)cos(\omega*t)
[/mm]
für welche paare c, [mm] \omega, [/mm] löst [mm] \psi [/mm] die [mm] schwingungsgleichung:\bruch{\partial^2\psi}{\partial t^2}=c^2\Delta \psi
[/mm]
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so hab alle partiellen ableitungen ausgerechnet und dann eingesetzt und einiges zusammengefasst. dann komme ich auf:
[mm] cos(2x)cosy*(-\omega^2+6c^2)+cos(2y)cosy*(-\omega^2+6c^2)-sin2y siny*(4c^2)=0
[/mm]
also ich weiss nicht wie ich da noch was umstellen soll, dass ich irgetnwas über c und [mm] \omega [/mm] aussagen kann. man sieht dass die gleichung erfüllt ist, wenn [mm] \omega=c=0 [/mm] ist, aber ich glaube nicht, dass das das einzige ergebnis ist.
(hoffe mal das ich bim ableiten und umformen keinen fehler gemacht habe)
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sry aber muss den threat mal pushen, als ich ihn erstellt hab (um halb 1) waren wohl net wirklich viele leute hier online.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Arvi!
Was soll denn das [mm] $\red{\Delta}\psi$ [/mm] bedeuten?
Gruß
Loddar
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also die partiellen ableitungen [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] aufaddiert.
glaube heisst laplace operator
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Hallo Arvi-Aussm-Wald,
> gegeben: [mm]\psi(x,y,t)=sinxcosycos(x+y)cos(x-y)cos(\omega*t)[/mm]
> für welche paare c, [mm]\omega,[/mm] löst [mm]\psi[/mm] die
> [mm]schwingungsgleichung:\bruch{\partial^2\psi}{\partial t^2}=c^2\Delta \psi[/mm]
>
> so hab alle partiellen ableitungen ausgerechnet und dann
> eingesetzt und einiges zusammengefasst. dann komme ich
> auf:
>
> [mm]cos(2x)cosy*(-\omega^2+6c^2)+cos(2y)cosy*(-\omega^2+6c^2)-sin2y siny*(4c^2)=0[/mm]
>
> also ich weiss nicht wie ich da noch was umstellen soll,
> dass ich irgetnwas über c und [mm]\omega[/mm] aussagen kann. man
> sieht dass die gleichung erfüllt ist, wenn [mm]\omega=c=0[/mm] ist,
> aber ich glaube nicht, dass das das einzige ergebnis ist.
>
> (hoffe mal das ich bim ableiten und umformen keinen fehler
> gemacht habe)
Soviel ich sehe stimmt das eher nicht.
Tipp:
Fasse den Ausdruck [mm]\sin\left(x\right)*\cos\left(y\right)*\cos\left(x+y\right)*\cos\left(x-y\right)[/mm] trigonometrisch zusammen. Dann wird auch das mit den partiellen Ableitungen einfacher.
Zuerst den Ausdruck [mm]\sin\left(x\right)*\cos\left(y\right)[/mm]:
[mm]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\beta\right)+\sin\left(\beta\right)*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
[mm]\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\beta\right)-\sin\left(\beta\right)*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)=2*\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\beta\right)[/mm]
[mm]\gdw \sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\beta\right) = \bruch{1}{2}*\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)[/mm]
mit [mm]\alpha=x, \ \beta=y[/mm]
Und dann dasselbe mit dem dann neuen Ausdruck
[mm]\bruch{1}{2}*\left(\sin\left(x+y\right)+\sin\left(x-y\right)\right)*\cos\left(x+y\right)*\cos\left(x-y\right)[/mm]
Hier musst Du das zweimal anwenden.
Das musst Du solange machen, bis Du nur entweder Sinus oder Cosinus-Ausdrücke (hier: Sinus-Ausdrücke). Der Aufwand dafür lohnt sich.
Gruß
MathePower
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ok danke erstmal ich hab die fkt per additionstheoreme "geteilt", ging dann eigentlich auch mit den partiellen ableitungen. (halt immer einmal produktregel)
habs ergebnis bis zum vorletzten schritt auch mit derive angesicher und es stimmte auch. (habs alles 3 mal durchgerechnet)
kann ich denn das "ergebnis" irgentiwie noch umstellen, das ich eine abhängigkeit von c und [mm] \omega [/mm] bekomme? (additionstheoreme oder sinstige "tricks" mit sin und cos?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Fr 02.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst dein Ergebnis schon posten, sonst müssen wir das ja erst herleiten, und wissen dann nicht obs dasselbe ist. (ausserdem natürlich auch keine lust die Arbeit doppelt zu machen)
Gruss leduart
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ok sry, also:
[mm] -\omega^2sinxcosycos(x+y)cos(x-y)cos(\omega*t) [/mm] <- 2. abl nach t
[mm] 0.5(-sinxcosycos(2y)cos(\omega*t)-4sin(2x)cosxcosycos(\omega*t)-5*cos(2x)sinxcosycos(\omega*t)) [/mm] <- 2. abl nach x
[mm] 0.5(4sin(2y)sinxsinycos(\omega*t)-5cos(2y)sinxcosycos(\omega*t)-sinxcosycos(2x)cos(\omega*t)) [/mm] <- 2. abl nach y
dann eingesetzt:
[mm] -\omega^2*sinxcosycos(2x)cos(\omega*t)-\omega^2sinxcosycos(2x)cos(\omega*t)=c^2*(-6(cos(2y)sinxcosycos(\omega*)-6*cos(2x)sinxcosycos(\omega*t)+4sin(2y)sinxsinycos(\omega*t))
[/mm]
hoffe hab mich nicht vertippt
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Hallo Arvi-Aussm-Wald,
> ok sry, also:
>
> [mm]-\omega^2sinxcosycos(x+y)cos(x-y)cos(\omega*t)[/mm] <- 2. abl
> nach t
>
> [mm]0.5(-sinxcosycos(2y)cos(\omega*t)-4sin(2x)cosxcosycos(\omega*t)-5*cos(2x)sinxcosycos(\omega*t))[/mm]
> <- 2. abl nach x
>
> [mm]0.5(4sin(2y)sinxsinycos(\omega*t)-5cos(2y)sinxcosycos(\omega*t)-sinxcosycos(2x)cos(\omega*t))[/mm]
> <- 2. abl nach y
>
> dann eingesetzt:
>
> [mm]-\omega^2*sinxcosycos(2x)cos(\omega*t)-\omega^2sinxcosycos(2x)cos(\omega*t)=c^2*(-6(cos(2y)sinxcosycos(\omega*)-6*cos(2x)sinxcosycos(\omega*t)+4sin(2y)sinxsinycos(\omega*t))[/mm]
Ich dachte an folgendes:
[mm]\psi(x,y,t)=a*\left(\sin\left(\alpha\left(x,y\right)\right)+\sin\left(\beta\left(x,y\right)\right)+\sin\left(\gamma\left(x,y\right)\right)+\sin\left(\delta\left(x,y\right)\right)\right)*\cos\left(\omega t\right)[/mm]
,wobei [mm]\alpha, \ \beta, \ \gamma,\ \delta[/mm] lineare Funktionen von x und y sind und a eine Konstante ist.
>
> hoffe hab mich nicht vertippt
Gruß
MathePower
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