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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Di 20.05.2008 | | Autor: | Cat- |
| Aufgabe | Betrachtet man im Einheitskreis einen Zentrumswinkel ß, dann gilt die Einschachtellung (1) Fläche OAE < Fläche OPE< Fläche OPF.
Es gilt OE=1, OA= cos ß , AE= sinß und PF verhält sich zu AE wie 1 zu OE also PF= tanß. Aus (1) folgt also (2) [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * sinß * cosß < Fläche OPE < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * tan ß
Setze nun ß = [mm] \bruch{2*\pi }{n} [/mm] mit n>4 so erhält man für die Fläche F des Einheitskreises [mm] \bruch{n}{4} [/mm] * sin [mm] (\bruch{4*\pi}{n} [/mm] ) < F< [mm] \bruch{n}{2} [/mm] * [mm] tan(\bruch{2*\pi}{n} [/mm] ) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
Hallo Zusammen!
Den ersten Schritt der Aufgabenstellung verstehe ich. Mein Problem fängt an, wenn ich ß in die Gleichung einsetzen muss. Könnte mir bitte Jemand einen Tipp geben, wie ich auf das Ergebnis für die Fläche des Einheitskreises komme?
Ich wäre euch wirklich dankbar.
Ciao Cat-
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Di 20.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Betrachtet man im Einheitskreis einen Zentrumswinkel ß,
> dann gilt die Einschachtellung (1) Fläche OAE < Fläche
> OPE< Fläche OPF.
> Es gilt OE=1, OA= cos ß , AE= sinß und PF verhält sich zu
> AE wie 1 zu OE also PF= tanß. Aus (1) folgt also (2)
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * sinß * cosß < Fläche OPE < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> tan ß
> Setze nun ß = [mm]\bruch{2*\pi }{n}[/mm] mit n>4 so erhält man für
> die Fläche F des Einheitskreises [mm]\bruch{n}{4}[/mm] * sin
> [mm](\bruch{4*\pi}{n}[/mm] ) < F< [mm]\bruch{n}{2}[/mm] *
> [mm]tan(\bruch{2*\pi}{n}[/mm] )
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt!
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> Hallo Zusammen!
> Den ersten Schritt der Aufgabenstellung verstehe ich. Mein
> Problem fängt an, wenn ich ß in die Gleichung einsetzen
> muss. Könnte mir bitte Jemand einen Tipp geben, wie ich auf
> das Ergebnis für die Fläche des Einheitskreises komme?
> Ich wäre euch wirklich dankbar.
>
> Ciao Cat-
Was du hier mit Fläche OPE bezeichnest, ist sicher der vom Zentrumswinkel ausgeschnittene Kreissektor.
Wenn ein Vollkreis in n gleiche Sektoren geteilt wird, gilt die oben für EINEN Sektor aufgestellte Kettenungleichung für den Gesamtkreis (also obige Ungleichungskette mal n nehmen).
Dabei ist noch zu berücksichtigen, dass die Doppelwinkelformel sin(2*ß)=2*sinß*cos ß und damit sin ß *cos ß =0,5*sin(2*ß) gilt.
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Di 20.05.2008 | | Autor: | Cat- |
Danke für die schnelle Antwort!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:50 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Cat- |
Hallo nochmal!
Nachdem ich die erste Aufgabe jetzt verstanden habe, bin ich direkt schon auf ein neues Problem gestoßen.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Wie kann man nun zeigen, dass der Limes von F= [mm] \pi [/mm] ist?
Hilfe: [mm] \limes_{x \to 0}\bruch{sin x}{x} [/mm]
x strebt gegen 0
Vielleicht könnte mir nochmal Jemand helfen.
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Cat- |
Hallo!
Warum der Limes von [mm] \bruch{sin x}{x}=1 [/mm] ist, habe ich verstanden.
Mein Problem ist, wie ich mit dieser Lösung und der Ungleichung zeige kann, dass der Limes von F= [mm] \pi [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mi 21.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo cat
Du hast doch [mm] (\bruch{n\cdot{}\pi}{4*\pi}*sin((\bruch{4\cdot{}\pi}{n})
[/mm]
das schreib als [mm] (\bruch{sinx}{x} [/mm] mit [mm] x=\bruch{4\cdot{}\pi}{n}
[/mm]
[mm] n=>\infty [/mm] entspricht x=>0
Du musst beim umformen auf dein Ziel achten, wenn du [mm] x=\bruch{4\cdot{}\pi}{n} [/mm] stezt, weil du ja sinx haben willst ist der Weg eigentlich klar.
Gruss leduart
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