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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mo 09.06.2008 | | Autor: | jayjay88 |
| Aufgabe 1 | | Zeigen sie: für alle t element [-1,1] gelten arccos(-t)=pi-arccos(t) und arcsin(-t)=-arcsin(t). |
| Aufgabe 2 | seien die funktionen f, g definiert für alle reellen zahlen x durch
f(x):=arccos(cos x)
g(x):=arcsin(sin x)
Zeigen sie, dass
f(x+pi)=pi-f(x) und g(x+pi)=-g(x) und zeichnen sie die graphen von f und g |
ich hab jetzt schon hin und her probiert, weiß aber auch gar nicht, ob für arcos/-sin auch die additionstheoreme wie für sin und cos gelten. ich weiß einfach gar nicht, wie ich an diese aufgabe drangehen soll. hab es schon mit verschiedenen ergänzungen versucht, aber da komme ich zu keinem schönen ergebnis. ich weiß einfach nicht, wie ich zu dem pi kommen soll??? hatte gedacht, dass das wie bei cosinus ist und ich dann das minus einfach weglassen kann, aber das geht wohl nicht, weil arccos nicht symmetrisch ist???
Kann mir jemand helfen? bei der zweiten aufgabe komme ich gar nicht weiter, dafür brauche ich wohl 1???
liebe grüße, jayjay
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen sie: für alle t element [-1,1] gelten
> arccos(-t)=pi-arccos(t) und arcsin(-t)=-arcsin(t).
> seien die funktionen f, g definiert für alle reellen
> zahlen x durch
> f(x):=arccos(cos x)
> g(x):=arcsin(sin x)
> Zeigen sie, dass
> f(x+pi)=pi-f(x) und g(x+pi)=-g(x) und zeichnen sie die
> graphen von f und g
> ich hab jetzt schon hin und her probiert, weiß aber auch
> gar nicht, ob für arcos/-sin auch die additionstheoreme wie
> für sin und cos gelten.
nein; das ist wohl hier kaum ein gangbarer Weg
> ich weiß einfach gar nicht, wie ich
> an diese aufgabe drangehen soll. hab es schon mit
> verschiedenen ergänzungen versucht, aber da komme ich zu
> keinem schönen ergebnis. ich weiß einfach nicht, wie ich zu
> dem pi kommen soll??? hatte gedacht, dass das wie bei
> cosinus ist und ich dann das minus einfach weglassen kann,
> aber das geht wohl nicht, weil arccos nicht symmetrisch
> ist???
> Kann mir jemand helfen? bei der zweiten aufgabe komme ich
> gar nicht weiter, dafür brauche ich wohl 1???
> liebe grüße, jayjay
>
hallo jayjay,
wichtig ist hier zuerst einmal, dass du dir die Definitionen
der Funktionen arccos und arcsin ganz anschaulich klar
machst. arccos(x) ist ja der Winkel [mm] \varphi [/mm] im Intervall
[mm] 0\le \varphi \le \pi [/mm] für welchen [mm] cos(\varphi)=x [/mm] ist.
Mach' dir dazu eine Skizze im Einheitskreis.
Dann siehst du: wenn man statt von x von -x ausgeht,
kommt man statt zu Winkel [mm] \varphi [/mm] zu dessen Nebenwinkel
180°- [mm] \varphi [/mm] oder im Bogenmass geschrieben [mm] \pi [/mm] - [mm] \varphi [/mm] .
Zur Aufgabe 2: ich empfehle dir hier, zuerst etwas zu
experimentieren, indem du die Funktionen f und g auf
verschiedene Winkel x anwendest, aber nimm auch solche,
die ausserhalb des Grundintervalls [mm] [0,\pi] [/mm] (für f) oder
[mm] [-\pi/2,\pi/2] [/mm] (für g) liegen !
Hinweis: die Graphen sind "Sägen".
LG al-Chw.
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> Zeigen sie: für alle t element [-1,1] gelten
> arccos(-t)=pi-arccos(t) und arcsin(-t)=-arcsin(t).
> seien die funktionen f, g definiert für alle reellen
> zahlen x durch
> f(x):=arccos(cos x)
> g(x):=arcsin(sin x)
> Zeigen sie, dass
> f(x+pi)=pi-f(x) und g(x+pi)=-g(x) und zeichnen sie die
> graphen von f und g
> ich hab jetzt schon hin und her probiert, weiß aber auch
> gar nicht, ob für arcos/-sin auch die additionstheoreme wie
> für sin und cos gelten. ich weiß einfach gar nicht, wie ich
> an diese aufgabe drangehen soll. hab es schon mit
> verschiedenen ergänzungen versucht, aber da komme ich zu
> keinem schönen ergebnis. ich weiß einfach nicht, wie ich zu
> dem pi kommen soll??? hatte gedacht, dass das wie bei
> cosinus ist und ich dann das minus einfach weglassen kann,
> aber das geht wohl nicht, weil arccos nicht symmetrisch
> ist???
> Kann mir jemand helfen?
Um zu zeigen, dass zwei Funktionen, sagen wir $f(t)$ und $g(t)$, identisch sind, kannst Du versuchen zu zeigen, dass die Ableitung ihrer Differenz $f(t)-g(t)$ identisch verschwindet (d.h. für alle $t$ gleich $0$ ist) und dass die Gleichung $f(t)=g(t)$ zudem für einen speziellen Wert, sagen wir [mm] $t_0$ [/mm] gilt.
So ist etwa
[mm]\left(\arccos(-t)-(\pi-\arccos(t))\right)'=-\frac{1}{\sqrt{1-(-t)^2}}\cdot(-1)-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}=0[/mm]
jedenfalls für alle [mm] $t\in \;(-1;+1)$. [/mm] Wenn Du nun noch zeigst, dass die Identität der beiden Funktionen auch für $t=-1$ und $t=1$ gilt, bist Du fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Mo 09.06.2008 | | Autor: | jayjay88 |
hey, danke euch beiden, ich mach dann damit erstmal weiter. kann mir das jetzt besser vorstellen,
lieben gruß, jayjay
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