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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 12.05.2005 | | Autor: | NiBu |
Hallo Forum!
Benötige Hilfe beim Beweisen folgenden Satzes:
[mm] A=\bruch{1}{2} [/mm] ab*sin [mm] \gamma
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2} [/mm] bc*sin [mm] \alpha
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2} [/mm] ca*sin [mm] \beta
[/mm]
Das ist, wie ihr sicher wisst, der Satz "für den Flächeninhalt A eines beliebigen Dreiecks ABC"!
Nun soll ich den Beweisen (mit q.e.d.) aber weiss nicht, wie das geht?
Könntet ihr so nett sein und mir zeigen, wie ich den Satz beweise?
Mfg und Danke im Voraus!
Nils
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo NiBu!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Benötige Hilfe beim Beweisen folgenden Satzes:
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> [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm] ab*sin [mm]\gamma[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm] bc*sin [mm]\alpha[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm] ca*sin [mm]\beta[/mm]
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> Das ist, wie ihr sicher wisst, der Satz "für den
> Flächeninhalt A eines beliebigen Dreiecks ABC"!
>
> Nun soll ich den Beweisen (mit q.e.d.) aber weiss nicht,
> wie das geht?
> Könntet ihr so nett sein und mir zeigen, wie ich den Satz
> beweise?
Ich mache dir mal die erste vor, ich denke, der Rest müsste exakt genauso gehen, das müsstest du dann alleine schaffen. 
Zeichne dir mal ein beliebiges Dreieck auf, trage die Punkte A, B und C (gegen den Uhrzeigersinn) ein, die jeweils den Punkten gegenüberliegenden Seiten werden mit den jeweiligen Kleinbuchstaben benannt, und in diesem Fall brauchen wir noch den Winkel [mm] \gamma, [/mm] das ist der Winkel beim Punkt C. Nun weißt du bestimmt, wie man den Flächeninhalt normalerweise berechnet, nämlich [mm] \bruch{1}{2}Grundseite*Höhe. [/mm] Nehmen wir hier mal als Grundseite die Seite a. Wenn wir uns nun angucken, was [mm] \sin{\gamma} [/mm] ist, dann stellen wir fest, dass:
[mm] \sin{\gamma}=\bruch{h}{b}
[/mm]
Also ist nach der obigen Formel:
[mm] A=\bruch{1}{2}ab*sin\gamma [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}ab*\bruch{h}{b} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}ah [/mm] - also genau das, was man kennt.
Alles klar? Ansonsten frag nochmal nach. 
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
P.S.: Es sei vielleicht noch angemerkt, dass ich der Einfachheit halber nur von "Höhe" geredet habe, in diesem Fall hier war es die Höhe auf die Seite a, in den anderen beiden Fällen musst du dementsprechend die Höhen auf b bzw. c nehmen - vielleicht solltest du das dann auch noch durch einen Index kenntlich machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 12.05.2005 | | Autor: | NiBu |
Danke schön für die tolle Antwort!
Habe es nun verstanden!
Nun habe ich noch die Frage, wie man daraus den Sinussatz ableiten kann?
Mfg und Danke im Voraus!
Nils
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Hallo NiBu,
> Nun habe ich noch die Frage, wie man daraus den Sinussatz
> ableiten kann?
Setze je zwei der Flächenformeln ins Verhältnis.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 12.05.2005 | | Autor: | NiBu |
Hmm, danke für deine Antwort aber ganz ehrlich habe ich es nicht verstanden! Meinst du z.B.
[mm] \bruch{0,5*ab*sin\gamma}{0,5*bc*sin\alpha}=\bruch{0,5*ca*sin\beta}{?}
[/mm]
Das scheint mir nicht richtig zu sein... :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Do 12.05.2005 | | Autor: | leduart |
> Hmm, danke für deine Antwort aber ganz ehrlich habe ich es
> nicht verstanden! Meinst du z.B.
>
> [mm]\bruch{0,5*ab*sin\gamma}{0,5*bc*sin\alpha}=\bruch{0,5*ca*sin\beta}{?}[/mm]
>
> Das scheint mir nicht richtig zu sein... :-(
Ist es auch nicht! links hast du A/A stehen ,rechts A aber A/A=1 oder auch A=A
[mm] also:\bruch{0,5*ab*sin\gamma}{0,5*bc*sin\alpha}=1 [/mm] dur 0,5 und b kürzen, mit [mm] \bruch{c}{a} [/mm] beide Seiten multiplizieren und fertig. Wenn du das mit allen 3 Kombinationen der 3 As machst hast du alle Verhältnisse!
Gruss leduart
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