Trigonometrische Form < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie die trigonometrische Form der folgenden komplexen Zahlen an:
(a) - 2 - i * 2
(b) 1 - i [mm] \wurzel{3}
[/mm]
(c) - 5i
(d) 5
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Wie soll ich da ran gehen ? War die letzten Wochen krank und konnte deshalb nicht an der Vorlesung teilnehmen. Jetzt bin ich auch wirklich alles andere als ein Mathegenie und komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Hab zwar das entsprechende Kapitel in meinem Buch, aber das hilft mir leider nicht weiter.
Wäre dankbar , wenn mir hier jemand helfen koennte....
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Hallo Finlandia!
Die trigonometrische Form einer komplexen Zahl $z \ = \ x+y*i$ sieht folgendermaßen aus:
$$z \ = \ [mm] r*\left[\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)\right]$$
[/mm]
Dabei gilt:
$$r \ = \ |z| \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$$
[/mm]
[mm] $$\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$$
[/mm]
Beim Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] ist aber jeweils noch zu überprüfen, in welchem Quadranten der Gauß'schen Zahlenebene die Zahl $z_$ liegt.
Gruß vom
Roadrunner
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danke schonmal...
jetzt komm ich ein bisschen weiter...
am Bsp. (a) - 2 - i * 2
r = |z| = [mm] \wurzel{(- 2^{2} ) + (-2 ^{2})}
[/mm]
r = |z| = 2,828
dann
z = 2,828 * [mm] \{ cos (\varphi) - i * sin (\varphi)\}
[/mm]
und dann ist [mm] \varphi [/mm] = arg z ?? aber wie rechne ich dann [mm] \varphi [/mm] aus??
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Hallo Finlandia!
> am Bsp. (a) - 2 - i * 2
>
> r = |z| = [mm]\wurzel{(- 2^{2} ) + (-2 ^{2})}[/mm]
Richtig gerechnet, falsch aufgeschrieben. Es muss lauten:
$$r = |z| = [mm] \wurzel{(- 2)^2 + (-2)^2} [/mm] \ = \ ...$$
> r = |z| = 2,828
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann
>
> z = 2,828 * [mm]\{ cos (\varphi) - i * sin (\varphi)\}[/mm]
> und dann ist [mm]\varphi[/mm] = arg z ?? aber wie rechne ich dann
> [mm]\varphi[/mm] aus??
Siehe meine Antwort oben. es gilt:
[mm] $$\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-2}{-2} [/mm] \ = \ 1$$
[mm] $$\varphi [/mm] \ = \ [mm] \arctan(1) [/mm] \ = \ 45°$$
Nun liegt $z \ = \ -2-2*i$ im 3. Quadranten der Gauß'schen Zahlenebene.
Damit muss gelten: $180 \ < \ [mm] \varphi' [/mm] \ < \ 270°$ .
Es ergibt sich also:
[mm] $$\varphi' [/mm] \ = \ 45°+180° \ = \ 225°$$
Gruß vom
Roadrunner
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nochmals vielen dank....
ok dann probiere ich es mal weiter....
Den [mm] tan\varphi [/mm] auszurechnen ist klar um dann wieder auf [mm] \varphi [/mm] zu kommen muss ich [mm] tan^{-1} [/mm] rechnen...
damit komm ich ja dann auf [mm] \varphi [/mm] = 45
damit würde es ja dann so sein:
z \ = [mm] 2,828\cdot{}\left[\cos(45)+i\cdot{}\sin(45)\right] [/mm]
waere das schon die richtige antwort ??
da ich es mit [mm] \varphi [/mm] "Strich" nicht verstehe. also ich verstehe warum es im 3. quadranten ist , aber wie ich dann das ganze fortführe und warum ich dann 45 + 180 rechne um dann die Ableitung von [mm] \varphi [/mm] \ zu bekommen verstehe ich nicht.
Man ein allgemeine Frage zur Gauß`schen Zahlenebene:
z = - 2 - 2 * i = 3. Quadrant
nur mal so zum verständnis... wenn es heissen würde :
z = 2 - 2 * i waere es doch der 2. Quadrant
z = -2 + 2 *i waere es der 4. Quadrant
z = 2 + 2 * i der 1. Quadrant ??????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest die komplexen Zahlen - bis du das automatisch im Kopf machst- immer in die komplexe Zahlenebene einzeichnen.
wenn du dann z als Pfeil vom Nullpkt aus einzeichnest "siehst du die Laenge direkt aus dem Pythagoras und den Winkel zur x- achse auch.
der tan ist periodisch mit [mm] 180^o [/mm] Periode. d.h. zu [mm] tan\phi=1 [/mm] gehoeren die Werte [mm] \phi=45 [/mm] und [mm] \phi=45+180 [/mm]
wenn die Zahl im dritten Quadranten liegt ist Realteil x und Imaginaerteil y positiv, d.h. der [mm] tan\phi [/mm] ist dasselbe fuer
x+iy und -x-iy deshalb musst du fuer komplexe Zahlen im 3. Quadranten zu dem Ergebnis deines TR noch 180 addieren.
Wenn die Zahl im 2ten oder 4. quadranten liegt ist der tan negativ, wieder spuckt dir dein TR fuer beide denselben Wert aus.
entweder einen negativen Winkel zwischen 0 und -90 oder einen positiven zwischen 90 und 180.
d.h. du musst wieder sehen, wo die Zahl liegt.
(du weisst hoffentlich, dass man die Winkel von der pos. x-achse aus gegen den Uhrzeigersinn als positiv, im Uhrzeigersinn als negativ bezeichnet.
z=1-i hat also den Winkel -45 oder +360-45=315
z=-1+i hat den Winkel +135 oder (-225 das schreibt man aber kaum)
Ich hoff jetzt ist es klarer. wenn du die Zahlen auf dem Papier (spaeter im Kopf) einzeichnest ist es ganz leicht.
Gruss leduart
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also waere das doch die endgültige lsg. oder ?
z = [mm] 2,828\cdot{}\left[\cos(225)+i\cdot{}\sin(225)\right]
[/mm]
z = 2,828 {(- 0,707 ) - i * ( - 0,707)}
z = - 1,999 + 1,999 * i
oder ist das falsch???
das mit dem quadranten waere dann ja so bsp.:
z = - 2 - 2 * i = 3. Quadrant
z = 2 - 2 * i waere es doch der 4. Quadrant
z = -2 + 2 *i waere es der 2. Quadrant
z = 2 + 2 * i der 1. Quadrant ??????
auch richtig oder?
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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Geben sie die trigonomische Form der folgenden komplexen Zahl an:
1 - [mm] i\wurzel{3} [/mm] |
Also ich fang mal an soweit ich komme:
z = x + y * i
z = r { cos [mm] (\varphi) [/mm] + i * sin [mm] (\varphi)}
[/mm]
tan [mm] (\varphi) [/mm] = [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{3}}{1}
[/mm]
= 1,732
[mm] \varphi [/mm] = 60 und liegt im 2 Quadranten und muesste doch dann + 360 gerechnet werden......
Frage : Eigentlich muesste da doch - 60 stehen oder???
r = |z| = [mm] \wurzel{x^{2} + y^{2}}
[/mm]
r = 2
so jetzt habe ich r und [mm] \varphi [/mm] , aber wie mache ich jetzt weiter ???
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> Geben sie die trigonomische Form
gemeint ist "trigonometrische" Form
> der folgenden komplexen Zahl an:
>
> 1 - [mm]i\wurzel{3}[/mm]
> Also ich fang mal an soweit ich komme:
>
> z = x + y * i
>
> z = r (cos [mm](\varphi)[/mm] + i * sin [mm](\varphi))[/mm]
>
> tan [mm](\varphi)[/mm] = [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{1}[/mm] = 1,732 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
es gilt hier [mm] $y=\red{-}\wurzel{3}$ [/mm] !
>
> [mm]\varphi[/mm] = 60 und liegt im 2 Quadranten und muesste doch
> dann + 360 gerechnet werden......
da versteh' ich nur Bahnhof...
>
> Frage : Eigentlich muesste da doch - 60 stehen oder???
>
> r = |z| = [mm]\wurzel{x^{2} + y^{2}}[/mm]
>
> r = 2
>
> so jetzt habe ich r und [mm]\varphi[/mm] , aber wie mache ich jetzt
> weiter ???
r=2 stimmt, [mm] \varphi [/mm] müsste [mm] -\bruch{\pi}{3}=-60° [/mm] oder [mm] 2\pi-\bruch{\pi}{3}=\bruch{5\pi}{3}=300° [/mm] sein
Für die Schreibweise der trigonometrischen Form gibt
es verschiedene Varianten. Da ich nicht weiss, wie ihr
sie geschrieben habt, hier einige Möglichkeiten:
[mm] z=2*\left(cos(-\bruch{\pi}{3})+i*sin(-\bruch{\pi}{3})\right)
[/mm]
[mm] z=2*cis(-\bruch{\pi}{3}) [/mm] cis ist Abkürzung für cos+i*sin
[mm] z=2*e^{-i*\bruch{\pi}{3}}
[/mm]
natürlich kann man auch den anderen Winkel [mm] \varphi=\bruch{5\pi}{3} [/mm] nehmen
und/oder die Grad-Schreibweise benützen
LG
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also muesste das erbgebnis folgendes sein:
1 - [mm] i\wurzel{3} [/mm] trigonometrisch dargestellt =
z = 2 { cos ( 300 ) - i sin ( 300 ) }
oder??
nebenfrage :
bei tan [mm] \varphi [/mm] = [mm] -\wurzel{3} [/mm] = 1,732
[mm] \varphi [/mm] = - 60
da meine komplexe zahl auf der Gauß`schen Zahlenebene im 2 Quadranten liegt , muß ich doch einfach 360 dazu addieren um auf die 300 zu kommen oder??
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Hallo Finlandia!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das stimmt nun jeweils.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Finlandia |
Also erstmal vielen Dank.... wirklich super !!!
Werd mich später nochmal melden um noch weitere Fragen zu erörtern....
Aber bis hier wirklich super!!
Werde versuchen in Bereichen , die ich besser beherrsche als Mathe, mich unterstützend einzubringen....
Fin
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:35 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die winkel und der Betrag sind zwar richtig, aber das ergebnis falsch, weil da stehen muss
[mm] z=|z|*(cos\phi)+i*sin\phi)
[/mm]
Finlandia hat sich durch das - in der darstellung von z verleiten lassen. es ist aber [mm] sin300^o=-\wurzel{3}/2
[/mm]
Gruss leduart
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ich habe geschrieben z = 2 { cos ( 300 ) - i sin ( 300 ) }
was ja anscheinend falsch ist
muesste ich es so schreiben:
z = 2 { cos ( 300 ) - i (- sin) ( 300 ) } oder anders
z = 2 { cos ( 300 ) + i sin ( 300 ) }
???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du [mm] \phi [/mm] richtig bestimmt hast (also mit Quadrant) dann ist z IMMER
[mm] z=|z|*(cos\phi+i*sin\phi) [/mm] das - was bei den Imaginaerteil (oder realteil) stand hast du ja schon mit dem quadranten beruecksichtigt also im betrachteten fall :
[mm] z=2*(cos300^o =i*sin300^o)
[/mm]
bei z=5i ist doch x nicht 1 sondern 0 also haettest du 5/0 das ist unendlich, bzw an sollte nicht durch 0 teilen. aber [mm] tan(90^o) [/mm] ist auch unendlich! (ebenso wie [mm] tan270^o)
[/mm]
Und du hast versprochen nicht 300 sondern [mm] 300^o [/mm] zu schreiben!! in Mathe ist wirklich mit sin(300)=0,999
[mm] sin(300^o)=-0,866
[/mm]
Gruss leduart
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also muss ich den gar nicht ausrechnen wenn x=0 ist oder wenn y=0 ist ??
x=0 = [mm] 270^o [/mm] oder - [mm] 90^o
[/mm]
und
y=0 = [mm] 180^o [/mm] oder - [mm] 180^o
[/mm]
also waere es bei aufgabe
d) 5
z = 5 { cos [mm] (180^o) [/mm] + i * sin [mm] (180^o) [/mm] }
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nur x und positv heisst [mm] \phi=0 [/mm] negativ [mm] \phi=180
[/mm]
dabei ist -180 und +180 derselbe Winkel.
also 5=5*cos(0)+i*sin(0)
Ja, und rechnen musst du nicht. bei x=y ists auch immer [mm] 45^o [/mm] und der richtige quadrant
Gruss leduart
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> also muesste das erbgebnis folgendes sein:
>
> 1 - [mm]i\wurzel{3}[/mm] trigonometrisch dargestellt =
>
> z = 2 { cos ( 300 ) - i sin ( 300 ) }
ich möchte dir nur sehr empfehlen, bei Winkeln im
Gradmass das Gradsymbol "°" auch immer zu schreiben!
In der Mathematik werden dimensionslose Winkel als Winkel
im Bogenmass interpretiert, und für das Bogengrad gilt
einfach:
[mm] 1°=\bruch{\pi}{180} [/mm]
>
> nebenfrage :
>
> bei tan [mm]\varphi[/mm] = [mm]-\wurzel{3}[/mm] = 1,732 ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
mit Vorzeichen scheinst du allzu grosszügig umzugehen ...
>
> [mm]\varphi[/mm] = - 60
>
> da meine komplexe zahl auf der Gauß'schen Zahlenebene im 2
> Quadranten liegt
Die vorliegende Zahl liegt nicht im 2., sondern im 4. Quadranten
(die Nummerierung der Quadranten verläuft im Gegenuhrzeiger-
sinn, genau wie die Winkelmessung auch.)
> muß ich doch einfach 360 dazu addieren
> um auf die 300 zu kommen oder??
Ja, wenn ein Winkel im Intervall [0°...360°) gefragt ist.
Man lässt aber mehr und mehr auch bei Ergebnissen
negative Winkelwerte zu.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Finlandia |
Ja ich werde mir angewöhnen das Gradzeichen immer zu benutzen, ist wirklich besser und auch übersichtlicher.
Das mit den Vorzeichen war schon immer mein Problem.
Und zum Quadranten ist es jetzt auch klar...
Danke
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Wie gehe ich bei Aufgabe c und d vor ???
bei c) - 5 i habe ich ja nur einen y wert, setze ich für x dann null ein ?? und bei d ) 5 ja genau umgekehrt nur das der y wert null waere ??
habs mal so gerechnet :
c ) - 5 i
z = r {cos [mm] (\varphi)+ [/mm] i * sin [mm] (\varphi) [/mm] }
r = 5
tan [mm] \varphi [/mm] = - 78,69° und liegt im 4. Quadranten
-78,69° + 360° = 281,31°
das ganze einsetzen:
z = 5 { cos ( 281,31° ) + i * sin ( 281,31° ) }
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wie gehe ich bei Aufgabe c und d vor ???
>
> bei c) - 5 i habe ich ja nur einen y wert, setze ich für x
> dann null ein ?? und bei d ) 5 ja genau umgekehrt nur das
> der y wert null waere ??
Das ist richtig.
Wenn du die Zahl einzeichnen wuerdest muesstest du sehen , dass dein Winkel falsch ist! die Zahl liegt doch auf der neg. y-achse. also ist [mm] \phi [/mm] -ohne Rechnung - [mm] -90^o [/mm] oder [mm] -\pi/2 [/mm] oder [mm] 270^o.
[/mm]
> habs mal so gerechnet :
>
> c ) - 5 i
>
> z = r (cos [mm](\varphi)+[/mm] i * sin [mm](\varphi)[/mm])
>
> r = 5
>
> tan [mm]\varphi[/mm] = - 78,69° und liegt im 4. Quadranten
>
> -78,69° + 360° = 281,31°
>
> das ganze einsetzen:
>
> z = 5 { cos ( 281,31° ) + i * sin ( 281,31° ) }
Hier musst du deinen Fehler merken! dieses z hat ploetzlich einen Realteil, das ,was du umrechnen wolltest aber nicht.
(zur Probe kannst du ja am Ende wieder die andere Darstellung ausrechnen.
und wirklich zur Kontrole zeichnen.
Gruss leduart
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man man man ....
das mit den -90 / 270 Grad haette ich wirklich von anfang an sehen muessen....
wenn ich aber normal nach meinen formeln rechnen komm ich auf diese - 78,69 grad...
tan phi = y/x = -5/1 = -5
phi = - 78,69
was ja eindeutig wieder falsch ist.
realteil ist immer das x bei
z = x + i * y
oder und y ist der Imaginärteil ?
oh man ich muss wirklich auch noch Grundlagen schaffen um da wieder mitzukommen....
Fin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die erste Frage ist ja erledigt, x ist nicht 1
der Realteil ist der, der nicht mit i mult. wird, der Imaginaerteil ist der Teil, der mit i multipl. Dazu muessen sie natuerlich nicht x und y heissen.
Wenn jemand schreibt z=y+ix ist das erlaubt und y ist der realteil x der Imaginaerteil!
z=Finlandia -i*leduart, waere Finlandia der Realteil, -leduart der Imaginaerteil.
Gruss leduart
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