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| Aufgabe 1 | Betrachten Sie die Funktion [mm] f:(\bruch{\pi}{12},\bruch{\pi}{2}) \to \IR
[/mm]
f(x)=sin(2x) + [mm] sin(\bruch{\pi}{3}-2x)
[/mm]
a) Beweisen Sie, dass f injektiv ist.
b) Bestimmen Sie die Bildmenge von f |
| Aufgabe 2 | | Schreiben sie [mm] arcsin\bruch{3}{5}+arcsin\bruch{12}{13} [/mm] mit Hilfe einer einzigen Arcusfunktion |
| Aufgabe 3 | Lösen sie folgende Gleichungen mit [mm] -\pi [/mm] < x [mm] \le \pi
[/mm]
a) [mm] 2sin^{2}x-4cos^{2}x+1 [/mm] = 0
b) [mm] \bruch{\bruch{1}{cos(x)} + tan(x)}{1 + sin(x)} [/mm] = [mm] \wurzel [/mm] |
Hallo liebe matheforum.net-User,
ich hatte schon immer einige Schwierigkeiten mit trigonometrischen Funktionen und hoffe, dass ihr mir bei den folgenden Aufgaben etwas unter die Arme greifen könnt. Zu einem Großteil der Aufgaben habe ich schon (ausgereifte) Ansätze:
Ansatz Aufgabe 1
Injektivität = Jedem y-Wert wird genau ein x-Wert zugeordnet. (Bspw. die Funktion [mm] f(x)=x^{2} [/mm] wäre somit nicht injektiv)
a) Da ich mir nun jedoch nicht sicher bin wie man dies beweist, habe ich die Funktion erstmal so weit wie meiner Meinung nach möglich vereinfacht. Grundlegende Idee für den "Beweis" wäre hier sehr hilfreich!
Da sin(a) + sin(b) = [mm] 2sin(\bruch{a+b}{2})*cos(\bruch{a-b}{2}) [/mm] entspricht:
[mm] \gdw [/mm] f(x)= [mm] 2sin(\bruch{2\pi}{3})*cos(2x+\bruch{2\pi}{3})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(x)= [mm] \wurzel{3}*cos(2x)*(-\bruch{1}{2})-sin(2x)+\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(x)= cos(2x)-sin(2x)
Stimmt dies bis zu dieser Stelle überhaupt? Und wenn ja, wie vollziehe ich nun den besagten Beweis der Injektivität?
b) Die Bildmenge ist meines Wissens nach die Menge aller y-Werte die die Funktion im besagten Intervall darstellt. Wie bestimmte ich diese Bildmenge nun? Einfach, indem ich sowohl [mm] x_{1} [/mm] als auch [mm] x_{2} [/mm] einsetze und die jeweiligen y-Werte als Grenzen der Bildmenge festlege?
Ansatz Aufgabe 2
Hier ist folgender Hinweis angegeben:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
Somit erhalte ich folgende "Gesamtgleichung":
cos(arcsin((3/5) + arcsin (12/13)) = cos(arcsin((3/5)))*cos(arcsin ((12/13))) - sin(arcsin ((3/5)))*sin(arcsin ((12/13)))
Ist dies nun bereits meine "Arcusfunktion"? Oder wie gehe ich weiter vor?
Ein Taschenrechner steht uns an dieser Stelle nicht zur Verfügung.
Ansatz Aufgabe 3
Hier fehlt mir etwas der grundlegende Plan...
Ich denke, dass hier generell mit den Rechenregeln der trigonometrischen Funktionen operiert werden muss. Aber wie genau führe ich dies durch und beachte zudem [mm] -\pi [/mm] < x [mm] \le \pi [/mm] ? Es sind insgesamt deutlich mehr Aufgaben, eine kleine Starthilfe + Erläuterung für a) und b) würde mir hier sehr helfen.
Liebe Grüße und danke für jegliche Hilfe,
fackelschein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Do 06.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Betrachten Sie die Funktion
> [mm]f:(\bruch{\pi}{12},\bruch{\pi}{2}) \to \IR[/mm]
>
> f(x)=sin(2x) + [mm]sin(\bruch{\pi}{3}-2x)[/mm]
>
> a) Beweisen Sie, dass f injektiv ist.
> b) Bestimmen Sie die Bildmenge von f
> Schreiben sie [mm]arcsin\bruch{3}{5}+arcsin\bruch{12}{13}[/mm] mit
> Hilfe einer einzigen Arcusfunktion
> Lösen sie folgende Gleichungen mit [mm]-\pi[/mm] < x [mm]\le \pi[/mm]
>
> a) [mm]2sin^{2}x-4cos^{2}x+1[/mm] = 0
> b) [mm]\bruch{\bruch{1}{cos(x)} + tan(x)}{1 + sin(x)}[/mm] =
> [mm]\wurzel[/mm]
> Hallo liebe matheforum.net-User,
>
> ich hatte schon immer einige Schwierigkeiten mit
> trigonometrischen Funktionen und hoffe, dass ihr mir bei
> den folgenden Aufgaben etwas unter die Arme greifen könnt.
> Zu einem Großteil der Aufgaben habe ich schon
> (ausgereifte) Ansätze:
>
> Ansatz Aufgabe 1
>
> Injektivität = Jedem y-Wert wird genau ein x-Wert
> zugeordnet.
nein, das ist Bijektivität. Injektivität bedeutet "... höchstens ein x-Wert"! Und
Deine Formulierung ist schlecht: Für jedes [mm] $y\,$ [/mm] des Zielbereiches existiert
höchstens ein [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs mit [mm] $f(x)=y\,.$
[/mm]
> (Bspw. die Funktion [mm]f(x)=x^{2}[/mm] wäre somit nicht injektiv)
Ohne Definitionsbereichsangabe taugt ein solches Beispiel nichts - wenn
Du die Funktion etwa auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert meinst, ist das okay. Du könntest
sie aber auch auf [mm] $[0,\infty)\,,$ [/mm] oder [mm] $(-\infty,-1]\,,$ [/mm] oder ... betrachten - dort
ist sie injektiv (sofern ... passend ergänzt werden).
> a) Da ich mir nun jedoch nicht sicher bin wie man dies
> beweist, habe ich die Funktion erstmal so weit wie meiner
> Meinung nach möglich vereinfacht. Grundlegende Idee für
> den "Beweis" wäre hier sehr hilfreich!
>
> Da sin(a) + sin(b) =
> [mm]2sin(\bruch{a+b}{2})*cos(\bruch{a-b}{2})[/mm] entspricht:
>
> [mm]\gdw[/mm] f(x)= [mm]2sin(\bruch{2\pi}{3})*cos(2x+\bruch{2\pi}{3})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] f(x)=
> [mm]\wurzel{3}*cos(2x)*(-\bruch{1}{2})-sin(2x)+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] f(x)= cos(2x)-sin(2x)
>
> Stimmt dies bis zu dieser Stelle überhaupt? Und wenn ja,
> wie vollziehe ich nun den besagten Beweis der
> Injektivität?
Ich war jetzt faul und habe mir nur mal die Graphen plotten lassen (sowas
kannst Du übrigens auch machen:
Wenn Du Dir etwa nicht mehr sicher bist, ob [mm] $\sin(2x)$ [/mm] das Gleiche ist wie
[mm] $2\sin(x)\cos(x)\,,$
[/mm]
dann plotte halt [mm] $f(x)=\sin(2x)$ [/mm] und [mm] $g(x)=2*\sin(x)\cos(x)\,.$ [/mm] ...)
Das sieht schlecht aus...
Die Idee, die Funktion zu vereinfachen, ist okay. Benutze aber einfach dazu
die Additionstheoreme, damit gilt
[mm] $\sin(2*x)+\sin(\pi/3-2*x)=\sin(2x)+\sin(\pi/3)\cos(2x)-\cos(\pi/3)\sin(2x)=\sin(2x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)-\frac{1}{2}\sin(2x)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)$
[/mm]
Jetzt könnte man noch
[mm] $\sin^2(2x)+\cos^2(2x)\equiv [/mm] 1$
verwenden, allerdings sei dazugesagt Du musst dabei aufpassen, welches
Vorzeichen [mm] $\cos(2x)$ [/mm] bzw. [mm] $\sin(2x)$ [/mm] hat! Allerdings kann man dann sehr elementar
weiterargumentieren...
Dennoch schlage ich folgendes vor:
Leite mal die Funktion ab, und schau, ob Du dann etwas über das Monotonie-
Verhalten der Funktion auf [mm] $(\pi/12,\;\pi/2)$ [/mm] sagen kannst:
Denn streng monoton fallende Funktionen sind injektiv - Beweis?
Ansonsten: Zu den Begriffen habe ich erst
kürzlich hier (klick!)
was geschrieben!
Nebenher: Du kannst Dir auch mal etwa Octave installieren (free), und
dann
| 1: | x=[pi/12:0.001:pi/2];
| | 2: | y=sin(2*x)+sin(pi/3-2*x);
| | 3: | plot(x,y,'- x'); |
eingeben. (Wenn Du wissen willst, was die Befehle im einzelnen bedeuten,
frage einfach nochmal nach, oder google sie nach...)
Anhand des Graphen (Plots) würde man die Injektivität sofort einsehen
(wollen), weil...?
(Hinweis: Überlege Dir, was hier die Injektivität mit "Parallelen zur
[mm] $x\,$-Achse" [/mm] zu tun hat - wie oft darf eine (jede) solche den Graphen der
Funktion maximal schneiden?)
P.S. Den Wertebereich solltest Du eigentlich auch mit obigen Überlegungen
angeben sollen, wobei beachtenswert ist: Deine Funktion ist stetig!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Do 06.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Betrachten Sie die Funktion
> [mm]f:(\bruch{\pi}{12},\bruch{\pi}{2}) \to \IR[/mm]
>
> f(x)=sin(2x) + [mm]sin(\bruch{\pi}{3}-2x)[/mm]
>
> a) Beweisen Sie, dass f injektiv ist.
> b) Bestimmen Sie die Bildmenge von f
> Schreiben sie [mm]arcsin\bruch{3}{5}+arcsin\bruch{12}{13}[/mm] mit
> Hilfe einer einzigen Arcusfunktion
> Lösen sie folgende Gleichungen mit [mm]-\pi[/mm] < x [mm]\le \pi[/mm]
>
> a) [mm]2sin^{2}x-4cos^{2}x+1[/mm] = 0
verwende: es gilt
[mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\,$
[/mm]
für alle $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm]
Beachte, dass Du danach dann am Ende sowas wie
[mm] $\sin^2(x)=...$
[/mm]
oder
[mm] $\cos^2(x)=...$
[/mm]
stehen hast. (Es ist [mm] $z^2=p$ $\iff$ $z=\pm \sqrt{p}$ [/mm] für alle $p [mm] \ge 0\,.$)
[/mm]
Und Du willst dann ja auch noch nach [mm] $x\,$ [/mm] auflösen... (ich weiß nicht, wie die
Gleichung am Ende aussieht, aber generell ist beachtenswert, dass [mm] $\cos(x)=u\,$ [/mm] nur
nach $x [mm] \in \IR$ [/mm] auflösbar ist, wenn $|u| [mm] \le [/mm] 1$!)
Gruß,
Marcel
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Schreiben sie $ [mm] arcsin\,\bruch{3}{5}+arcsin\,\bruch{12}{13} [/mm] $ mit Hilfe einer
einzigen Arcusfunktion .
Hallo
Bezeichnen wir doch mal:
$\ [mm] \alpha:=\ \arcsin\,\bruch{3}{5}\quad ;\qquad \beta:=\ \arcsin\,\bruch{12}{13} [/mm] $
Diese beiden Winkel sind offenbar spitze Winkel
im Intervall (0 ... [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
Ihre Cosinuswerte lassen sich leicht nach dem Satz
von Pythagoras berechnen (die vorkommenden Brüche
riechen äußerst pythagoräisch ! ...  ).
Auch sie sind positiv, wie schon die Sinuswerte. Nach
den Additionstheoremen lassen sich nun leicht sowohl
[mm] sin(\alpha+\beta) [/mm] als auch [mm] cos(\alpha+\beta) [/mm] berechnen.
Dass [mm] cos(\alpha+\beta)<0 [/mm] wird, zeigt, dass [mm] \alpha+\beta [/mm] nicht mehr
ein spitzer Winkel sein kann. Doch es muss auch gelten:
[mm] $\alpha+\beta [/mm] < [mm] \pi$ [/mm] (warum ?).
Damit liegt [mm] $\alpha+\beta$ [/mm] noch in jenem Bereich, der
zum Wertebereich der arccos - Funktion gehört.
Es gilt deshalb auch [mm] $\alpha+\beta\ [/mm] =\ [mm] arccos(cos(\alpha+\beta))$
[/mm]
(Beachte, dass diese Gleichung keineswegs selbstver-
ständlich ist !)
Nun kann man hier die mittels Pythagoras berechneten
Werte einsetzen und dann den Bruch noch etwas verein-
fachen.
LG , Al-Chwarizmi
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$ [mm] \bruch{\bruch{1}{cos(x)} + tan(x)}{1 + sin(x)} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel [/mm] $ ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was sollte da auf der rechten Seite wirklich stehen ?
Die linke Seite lässt sich mittels [mm] $\tan(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
[/mm]
und etwas Bruchrechnen sofort vereinfachen. Und
damit ist die Aufgabe dann auch schon fast gelöst
(falls man für die rechte Seite einen passenden
Zahlenwert hat).
Zu beachten ist dann noch, dass keiner der in der
Ausgangsgleichung steckenden Nenner den Wert 0
annehmen darf.
LG , Al-Chw.
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Erstmal danke für jegliche Hilfe.
Die Aufgaben 1 & 2 habe ich nun abgeschlossen und zu 90% richtig beantwortet. :)
Bei Aufgabe 3 ist jedoch immernoch der Wurm drin...
Bzgl. a) bin ich nun leider bei cos²(x) = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] angekommen und auch bei b) scheitere ich kläglich. Die korrekte Ausgangsgleichung bei b) lautet folgendermaßen:
[mm] \bruch{\bruch{1}{cos(x)} + tan(x)}{1 + sin(x)}=\wurzel{2} [/mm]
Nun habe ich tan(x) wie besagt ersetzt und komme nun auf folgende Gleichung:
[mm] \bruch{(1+sin(x))^2}{cos(x)}=\wurzel{2} [/mm]
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Aufgabe 3:
> Bzgl. a) bin ich nun leider bei cos²(x) = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> angekommen und auch bei b) scheitere ich kläglich.
Aufgabe 3a:
Die Gleichung lautete: $ [mm] 2\,sin^{2}x\,-\,4\,cos^{2}x+1\ [/mm] =\ 0$
Bei deinem Zwischenergebnis scheint ein Vorzeichenfehler
vorzuliegen. Ich komme auf [mm] $\cos^2(x)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] , woraus man dann
auch ohne Rechner die passenden Winkel ermitteln kann.
Beachte am Schluss, dass es im Intervall $\ [mm] (\,-\pi\,...\,\pi\,]$
[/mm]
mehrere Lösungen geben kann !
Aufgabe 3b:
> korrekte Ausgangsgleichung bei b) lautet folgendermaßen:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{cos(x)} + tan(x)}{1 + sin(x)}=\wurzel{2}[/mm]
>
> Nun habe ich tan(x) wie besagt ersetzt und komme nun auf
> folgende Gleichung:
>
> [mm]\bruch{(1+sin(x))^2}{cos(x)}=\wurzel{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
In diesem Fall scheint der Wurm im Bruchrechnen zu stecken !
Vereinfache doch zur Übung bitte mal den Bruch [mm] $\frac{\ \frac{3}{5}\ }{\ 3\ }$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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Hallo,
> Erstmal danke für jegliche Hilfe.
> Die Aufgaben 1 & 2 habe ich nun abgeschlossen und zu 90%
> richtig beantwortet. :)
>
> Bei Aufgabe 3 ist jedoch immernoch der Wurm drin...
>
> Bzgl. a) bin ich nun leider bei cos²(x) = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> angekommen und auch bei b) scheitere ich kläglich. Die
> korrekte Ausgangsgleichung bei b) lautet folgendermaßen:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{cos(x)} + tan(x)}{1 + sin(x)}=\wurzel{2}[/mm]
>
> Nun habe ich tan(x) wie besagt ersetzt und komme nun auf
> folgende Gleichung:
>
> [mm]\bruch{(1+sin(x))^2}{cos(x)}=\wurzel{2}[/mm]
Es lautet doch mal:
[mm] \frac{\frac{1}{cos(x)}+tan(x)}{1+sin(x)} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{cos(x)}+\frac{sin(x)}{cos(x)}}{1+sin(x)} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1+sin(x)}{cos(x)}}{1+sin(x)} [/mm] = [mm] \frac{1+sin(x)}{cos(x)(1+sin(x))} [/mm] ...
Nun bist du aber fast dort.
Gruß Thomas
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