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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:09 Di 08.12.2015 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch Multiplikation von Reihen , dass für beliebige x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt:
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
Folgern Sie, dass [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x) [/mm] = 1 für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] cos:=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!} [/mm] und [mm] sin(x):=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] |
Bei dieser Aufgabe tue ich mich schwer. Ich glaube das ich den richtigen Ansatz habe, doch komme nicht auf die Umformung. Ich poste mal meine Ansätze zum besseren Verständnis.
1 Teil:
[mm] cos(x)*cos(y)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\bruch{x^{2k}}{(2k)!}(-1)^{n-k}\bruch{y^{2n-k}}{(2n-k)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{n}\vektor{2n \\ 2k}x^{k}y^{n-k} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!}(-1)^{n}(x+y)^{2n} [/mm]
2. Teil:
[mm] sin(x)*sin(y)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n+1}}{(2n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}(-1)^{n-k+1}\bruch{y^{2n-2k+1}}{(2n-2k+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!} \summe_{k=0}^{n}(-1)^{n}\vektor{2n \\ 2k+1}x^{k+1}y^{n-k+1}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{1}{(2n)!}(x+y)^{2n}
[/mm]
Das Problem ist nun aber, dass ich zeigen soll, dass [mm] cos(x+y)=\summe_{n=0}{\infty}(-1)^{n}\bruch{(x+y)^{2n}}{(2n)!} [/mm] das Theorem nicht bestätigt. Kann mir jemand sagen, wo ich denn den Fehler gemacht habe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 10.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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