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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mo 23.06.2008 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | | Die Gleichung sin(x + y) = sin(x) + sin(y) ist fuer allgemeine x,y [mm] \in \IR [/mm] falsch. Bestimmen sie nun alle x und y fuer die diese Gleichung richtig ist. Benutzen sie dabei sin u + sin v = [mm] 2sin*\bruch{u + x}{2}cos*\bruch{u - v}{2}. [/mm] und sin(2u) = 2sin u*cos u . |
da ich ja die beiden gleichungen von oben gegeben hab bzw. die benutzen soll denk ich mal das man zwischen 2 faellen unterscheiden muss:
x=y und x [mm] \not= [/mm] y . nur wie finde ich denn heraus fuer welche zahlen das gilt :X ausprobieren eher nicht...ich brauch irgendwie einen ansatz.
oder muesste es nur fuer 1 zahl gueltig sein?..dann muesste es ja auch fuer alle zahlen + [mm] 2k\pi [/mm] gueltig sein.
MfG Tomi
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Mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion kann man die Gleichung so schreiben:
[mm]\frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i} (x+y)} - \operatorname{e}^{- \operatorname{i} (x+y)} \right) =
\frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i} x} - \operatorname{e}^{- \operatorname{i} x} \right) + \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i} y} - \operatorname{e}^{- \operatorname{i} y} \right)[/mm]
Setzt man
[mm]a = \operatorname{e}^{\operatorname{i} x} \, , \ \ b = \operatorname{e}^{\operatorname{i} y}[/mm]
so sind [mm]a,b \neq 0[/mm], und man erhält nach Multiplikation mit [mm]2 \operatorname{i}[/mm] aus der obigen Gleichung die Beziehung
[mm]ab - \frac{1}{ab} = a - \frac{1}{a} + b - \frac{1}{b}[/mm]
Daraus bekommt man, wenn man mit [mm]ab[/mm] multipliziert:
[mm]a^2 b^2 - 1 = a^2 b + ab^2 - a - b[/mm]
[mm](ab - 1)(ab + 1) = ab(a + b) - (a + b)[/mm]
[mm](ab - 1)(ab + 1) = (ab - 1)(a + b)[/mm]
[mm](ab - 1)(ab + 1 - a - b) = 0[/mm]
[mm](ab - 1)(a - 1)(b - 1) = 0[/mm]
Und daraus kann man alles ablesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 24.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
benutze die zweite Formel für die linke [mm] Seite:sin(2*\bruch{x+y}{2})
[/mm]
die erste für die rechte Seite.
Dann wird die Gleichung einfacher. du hast dann 2 Möglichkeiten , entweder [mm] sin(\bruch{x+y}{2})=0 [/mm] oder ?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 25.06.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo!
sitze an der selben Aufgabe aber verstehe Leopolds Lösungsvorschlag nicht,nach seiner Rechnung müsste für a,b=1 rausklommen, 1 ist aber ein [mm] \in \IR [/mm] und da sollen ja alle werte ein falsche lösung ergeben...oder übersehe ich irgend etwas??
gruß mempys
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Mi 25.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dann hast du die Aufgabe missverstanden: die Gleichung gilt nicht allgemein für x,y [mm] \in \IR, [/mm] sie gilt sehr wohl für einzelne Werte!
Ohne zu rechnen sieht man, das sie gilt, wenn beide Seiten 0 sind, also für y=-x wegen sin-x=-sinx. dabei kann x jede beliebige reelle Zahl sein.
Gruss leduart
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Du mußt dir meine Definition von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] vor Augen führen:
[mm]a = \operatorname{e}^{\operatorname{i}x} \, , \ \ b = \operatorname{e}^{\operatorname{i}y}[/mm]
In der Tat ergeben sich aus meiner letzten Gleichung drei Fälle.
1. Fall: [mm]a = \operatorname{e}^{\operatorname{i}x} = 1[/mm], also [mm]x \equiv 0 \mod{2 \pi}[/mm]
2. Fall: [mm]a = \operatorname{e}^{\operatorname{i}y} = 1[/mm], also [mm]y \equiv 0 \mod{2 \pi}[/mm]
3. Fall: [mm]ab = \operatorname{e}^{\operatorname{i}(x+y)} = 1[/mm], also [mm]x+y \equiv 0 \mod{2 \pi}[/mm]
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