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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:36 Fr 04.01.2013 | | Autor: | DarkJiN |
Ich hab ganz kurz ne Frage.
[mm] f(x)=2cos(2x-\bruch{\pi}{4})+1
[/mm]
verschiebt sich der ganze Graph nun um [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] nach recht oder [mm] \bruch{\pi}{8 nach rechts}?
[/mm]
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:42 Fr 04.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ich hab ganz kurz ne Frage.
>
> [mm]f(x)=2cos(2x-\bruch{\pi}{4})+1[/mm]
>
> verschiebt sich der ganze Graph nun um [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] nach
> recht oder [mm]\bruch{\pi}{8 nach rechts}?[/mm]
eine Verschiebung braucht immer einen Bezugspunkt bzw. eine Bezugsfunktion. Deine Frage ist also so wie sie da steht sinnlos.
Ganz allgemein lässt sich sagen: Wenn eine Funktion $f(x)$ gegeben ist, so ist die Funktion [mm] $g(x)=f(x\pm [/mm] c)$ gegenüber $f(x)$ um c nach links/rechts verschoben.
>
>
> danke schonmal
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:50 Fr 04.01.2013 | | Autor: | DarkJiN |
Okay Tut mir leid. Die Umgangssprache kam so spät nachts mal wieder zum Vorschein ;)
nehmen wir die funktion [mm] f(x)=2cos(x-\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Ist die Standardcosinusfunktion nun um [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] oder [mm] \bruch{\pi}{8} [/mm] nach rechts verschoben?
Oder anders, falls die Formulierung auch nicht treffend ist, ist die erste Nullstelle der Funktion bei [mm] \bruch{3}{4}\pi [/mm] oder [mm] \bruch{5}{8} \pi?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo DarkJiN!
> Okay Tut mir leid. Die Umgangssprache kam so spät nachts
> mal wieder zum Vorschein ;)
>
> nehmen wir die funktion [mm]f(x)=2cos(x-\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> Ist die Standardcosinusfunktion nun um [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] oder
> [mm]\bruch{\pi}{8}[/mm] nach rechts verschoben?
> Oder anders, falls die Formulierung auch nicht treffend
> ist, ist die erste Nullstelle der Funktion bei
> [mm]\bruch{3}{4}\pi[/mm] oder [mm]\bruch{5}{8} \pi?[/mm]
Scheinbar beschäftigst du dich mit den Auswirkungen der Parameter a, b, c, d in [mm]a\cdot\cos(b(x+c))+d[/mm].
Schritt für Schritt: Es sei erst mal angeommen, dass die Parameter a, b, c, d >0 sind
- [mm]a\cdot \cos(x)[/mm] ist [mm]\cos(x)[/mm] um den Faktor a in y-Richtung gestreckt (für $a<1$ wird gestaucht).
- [mm]\cos(b\cdot x)[/mm] ist [mm]\cos(x)[/mm] um den Faktor b in x-Richtung gestaucht (für $b<1$ wird gestreckt).
- [mm]\cos(x+c)[/mm] ist [mm]\cos(x)[/mm] um c nach links verschoben (für $c<0$ nach rechts).
- [mm]\cos(x)+d[/mm] ist die Funktion [mm]\cos(x)[/mm] um d nach oben verschoben (für d<0$ nach unten).
(Das gilt übrigens für jede Funktion [mm]f(x)[/mm]).
Also ist [mm]f(x)=2cos(x-\bruch{\pi}{4})[/mm] die um [mm]\frac \pi 4[/mm] nach rechts verschobene und um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckte (Standard-)Kosinusfunktion.
EDIT:
Oben war noch von [mm]f(x)=2cos(2x-\bruch{\pi}{4})=2\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\right)[/mm] die Rede: dazu siehe die Mitteilung von Rubi.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 Fr 04.01.2013 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
die allgemeine Kosinusfunktion schreibt man üblicherweise so:
f(x) = a*cos(b*(x+c))+d (also b ist in der Klammer wiederum ausgeklammert).
c gibt nun an, um wie viele Einheiten das Schaubild von f(x) gegenüber g(x) = cos(x) nach links/rechts verschoben ist.
Bei der dargestellten Funktion muss man die 2 in der Klammer ausklammern, also f(x) = [mm] 2*cos(2*(x-\bruch{\pi}{8})).
[/mm]
Gegenüber der Standardkosinusfunktion ist diese Funktion um [mm] \bruch{\pi}{8} [/mm] nach rechts verschoben.
Viele Grüße
Rubi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Danke, Rubi, für die Verbesserung! Ich habe oben die Formel editiert.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:03 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo DarkJiN!
>
> > Okay Tut mir leid. Die Umgangssprache kam so spät nachts
> > mal wieder zum Vorschein ;)
> >
> > nehmen wir die funktion [mm]f(x)=2cos(x-\bruch{\pi}{4})[/mm]
> >
> > Ist die Standardcosinusfunktion nun um [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] oder
> > [mm]\bruch{\pi}{8}[/mm] nach rechts verschoben?
> > Oder anders, falls die Formulierung auch nicht treffend
> > ist, ist die erste Nullstelle der Funktion bei
> > [mm]\bruch{3}{4}\pi[/mm] oder [mm]\bruch{5}{8} \pi?[/mm]
>
> Scheinbar beschäftigst du dich mit den Auswirkungen der
> Parameter a, b, c, d in [mm]a\cdot\cos(b(x+c))+d[/mm].
Du solltest vielleicht dazuschreiben, dass bei Dir wohl - zumindest zunächst
erstmal - stets alle Parameter $> [mm] 0\,$ [/mm] sind? (Denn Du schreibst erst etwas
für "irgendein" [mm] $c\,$ [/mm] - wobei Du wohl $c > [mm] 0\,$ [/mm] automatisch annimmst -
und danach behandelst Du den Fall $c < [mm] 0\,$ [/mm] ...)
> Schritt für Schritt:
> - [mm]a\cdot \cos(x)[/mm] ist [mm]\cos(x)[/mm] um den Faktor a in y-Richtung
> gestreckt (für [mm]a<1[/mm] wird gestaucht).
> - [mm]\cos(b\cdot x)[/mm] ist [mm]\cos(x)[/mm] um den Faktor b in x-Richtung
> gestaucht (für [mm]b>1[/mm] wird gestreckt).
Für $b > [mm] 1\,$ [/mm] wird entlang der [mm] $x\,$-Achse [/mm] gestaucht.
Betrachten wir [mm] $f(x)=\cos(x)$ [/mm] und [mm] $g(x)=\cos(2*x)\,.$ [/mm] Die Funktion [mm] $g\,$ [/mm]
nimmt für etwa $x > 0$ schon an der Stelle $x/2$ den Wert an, welcher
von [mm] $f\,$ [/mm] "erst" an der Stelle $x > [mm] x/2\,$ [/mm] angenommen wird.
(Das ist ja auch klar: [mm] $f(x)=\cos(x)=\cos(2*(x/2))=g(x/2)\,.$)
[/mm]
Beispielsweise hat [mm] $g\,$ [/mm] die direkt aufeinanderfolgenden Nullstelllen
[mm] $\frac{\pi}{4},\;\frac{3}{4}\pi,\;\frac{5}{4}\pi\,...$ [/mm] also im Abstand von [mm] $\pi/2\,,$ [/mm] während die von [mm] $f\,$ [/mm] hier [mm] $\frac{\pi}{2},\;\frac{3}{2}\pi,\;\frac{5}{2}\pi,\;...$
[/mm]
also im Abstand von [mm] $\pi$ [/mm] sind [mm] $\to$ [/mm] Nullstellen von [mm] $\cos(2x)\,$ [/mm] liegen
auf der [mm] $x\,$-Achse [/mm] "dichter" im Vergleich zu denen von [mm] $\cos(x)$ $\Rightarrow$ [/mm]
[mm] $\cos(2x)$ [/mm] ist [mm] $\cos(x)$ [/mm] entlang der [mm] $x\,$-Achse [/mm] "gestaucht". (Und sicher
gilt $2 > [mm] 1\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 03:34 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Danke Marcel für die Korrektur!
Du hast natürlich recht, ich hätte nähere Aussagen über die Parameter machen sollen. Ich dachte aber, dass durch meine Notation klar wäre was gemeint ist. Ich habe es oben editiert.
Wobei noch die Fälle a, b, c, d < 0 fehlen, aber die soll sich der geneigte Leser selber überlegen.
Viele Grüße,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo DarkJiN,
> nehmen wir die funktion [mm]f(x)=2cos(x-\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> Ist die Standardcosinusfunktion nun um [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] oder
> [mm]\bruch{\pi}{8}[/mm] nach rechts verschoben?
> Oder anders, falls die Formulierung auch nicht treffend
> ist, ist die erste Nullstelle der Funktion bei
> [mm]\bruch{3}{4}\pi[/mm] oder [mm]\bruch{5}{8} \pi?[/mm]
Keines von beiden. Du kommst durch eine bloße Rechtsverschiebung vom cos nicht auf Dein $f$. Wegen des Faktors 2. Den kannst Du nicht wegschieben.
Übrigens ist [mm] $\frac [/mm] 3 4 [mm] \pi$ [/mm] die kleinste nichtnegative Nullstelle von $f$ und [mm] $\frac [/mm] 5 8 [mm] \pi$ [/mm] ist keine Nullstelle. Die Nullstellenmenge von $f$ ist
[mm] $\left\{ \frac 3 4 \pi + k\pi\colon k\in\IZ\right\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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