Trigonometrische Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mo 29.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | $\ [mm] \cos^2 [/mm] x + 2 [mm] \cos [/mm] x - [mm] \sin^2 [/mm] x + 1 = 0 $
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Hallo mal wieder  ,
die Gleichung sollte ich richtig gelöst haben, meine Frage bezieht sich wieder auf das Rotmarkierte.
$\ [mm] \cos^2 [/mm] x + 2 [mm] \cos [/mm] x - [mm] \sin^2 [/mm] x + 1 = 0 $
Substitution:
$\ y = [mm] \cos [/mm] x $
$\ 1 = [mm] \sin^2 [/mm] x + [mm] \cos^2 [/mm] x $
$\ [mm] y^2 [/mm] + 2y - [mm] \sin^2 [/mm] x + [mm] (\sin^2 [/mm] x + y) = 0 $
$\ [mm] y^2 [/mm] + 2y +y = 0 $
$\ [mm] y^2 [/mm] + 3y = 0 $
$\ y(y+ 3) = 0 $; $\ [mm] y_{1}=0 [/mm] $
$\ y = -3 $; $\ [mm] y_{2}=-3 [/mm] $ keine Lösung weil $\ -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1 $
für $\ y = [mm] \cos [/mm] x $ und $\ [mm] y_{1}=0 [/mm] $ ist $\ [mm] \cos [/mm] x = 0 $
somit
$\ [mm] x_{k} [/mm] = 90° + 360°*k = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2\pi*k [/mm] $
$\ [mm] \overline{x_{k}} [/mm] = 180°- 90° + 360°*k = [mm] \pi [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2\pi*k [/mm] $
Nun steht aber in der Lösung:
$\ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] {\red{\pi*k}} [/mm] $
Ich versteh das nicht so ganz, denn die Periode $\ [mm] \pi*k$ [/mm] gilt doch nur für $\ [mm] \tan$ [/mm] und $\ [mm] \cot$ [/mm] Funktionen.
Nachdem ich hier nur $\ [mm] \sin$ [/mm] und $\ [mm] \cos$ [/mm] Werte habe, sollte das Ergebnis doch für die Periode $\ [mm] 2\pi*k [/mm] = 360°*k$ gelten.
Ist das bloß ein Fehler in der Lösung oder liegt der Fehler bei mir?
Würde mich über eine Antwort freuen,
vielen Dank
Grüße,
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> [mm]\ \cos^2 x + 2 \cos x - \sin^2 x + 1 = 0[/mm]
>
>
> Hallo mal wieder ,
>
> die Gleichung sollte ich richtig gelöst haben, meine Frage
> bezieht sich wieder auf das Rotmarkierte.
>
> [mm]\ \cos^2 x + 2 \cos x - \sin^2 x + 1 = 0[/mm]
>
> Substitution:
>
> [mm]\ y = \cos x[/mm]
>
> [mm]\ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x[/mm]
>
> [mm]\ y^2 + 2y - \sin^2 x + (\sin^2 x + y) = 0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Mit [mm] $y=\cos(x)$ [/mm] ist doch [mm] $\cos^2(x)=y^2$
[/mm]
>
> $ [mm] y^2 [/mm] + 2y [mm] +y^{\red{2}} [/mm] = 0$
>
> [mm]\ y^2 + 3y = 0[/mm]
>
> [mm]\ y(y+ 3) = 0 [/mm]; [mm]\ y_{1}=0[/mm]
>
> [mm]\ y = -3 [/mm]; [mm]\ y_{2}=-3[/mm] keine Lösung weil [mm]\ -1 \le y \le 1[/mm]
>
> für [mm]\ y = \cos x[/mm] und [mm]\ y_{1}=0[/mm] ist [mm]\ \cos x = 0[/mm]
>
> somit
>
> [mm]\ x_{k} = 90° + 360°*k = \bruch{\pi}{2} + 2\pi*k[/mm]
> [mm]\ \overline{x_{k}} = 180°- 90° + 360°*k = \pi - \bruch{\pi}{2} + 2\pi*k[/mm]
>
>
> Nun steht aber in der Lösung:
>
> [mm]\ x_{k} = \bruch{\pi}{2} + {\red{\pi*k}}[/mm]
>
> Ich versteh das nicht so ganz, denn die Periode [mm]\ \pi*k[/mm]
> gilt doch nur für [mm]\ \tan[/mm] und [mm]\ \cot[/mm] Funktionen.
>
> Nachdem ich hier nur [mm]\ \sin[/mm] und [mm]\ \cos[/mm] Werte habe, sollte
> das Ergebnis doch für die Periode [mm]\ 2\pi*k = 360°*k[/mm]
> gelten.
>
> Ist das bloß ein Fehler in der Lösung oder liegt der Fehler
> bei mir?
Du hast da oben einmal falsch ersetzt
Es ergibt sich [mm] $2y^2+2y=0$, [/mm] also $2y(y+1)=0$
Also [mm] $\cos(x)=0\vee\cos(x)=-1$ [/mm] ...
>
> Würde mich über eine Antwort freuen,
> vielen Dank
>
> Grüße,
> ChopSuey
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 29.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
danke für die schnelle Antwort!
> Hallo ChopSuey,
>
> > [mm]\ \cos^2 x + 2 \cos x - \sin^2 x + 1 = 0[/mm]
> >
> >
> > Hallo mal wieder ,
> >
> > die Gleichung sollte ich richtig gelöst haben, meine Frage
> > bezieht sich wieder auf das Rotmarkierte.
> >
> > [mm]\ \cos^2 x + 2 \cos x - \sin^2 x + 1 = 0[/mm]
> >
> > Substitution:
> >
> > [mm]\ y = \cos x[/mm]
> >
> > [mm]\ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x[/mm]
> >
> > [mm]\ y^2 + 2y - \sin^2 x + (\sin^2 x + y) = 0[/mm]
Stimmt natürlich, da war ich zu unsauber.
>
> Mit [mm]y=\cos(x)[/mm] ist doch [mm]\cos^2(x)=y^2[/mm]
>
> >
> > [mm]y^2 + 2y +y^{\red{2}} = 0[/mm]
> >
> > [mm]\ y^2 + 3y = 0[/mm]
> >
> > [mm]\ y(y+ 3) = 0 [/mm]; [mm]\ y_{1}=0[/mm]
> >
> > [mm]\ y = -3 [/mm]; [mm]\ y_{2}=-3[/mm] keine Lösung weil [mm]\ -1 \le y \le 1[/mm]
>
> >
> > für [mm]\ y = \cos x[/mm] und [mm]\ y_{1}=0[/mm] ist [mm]\ \cos x = 0[/mm]
> >
> > somit
> >
> > [mm]\ x_{k} = 90° + 360°*k = \bruch{\pi}{2} + 2\pi*k[/mm]
> > [mm]\ \overline{x_{k}} = 180°- 90° + 360°*k = \pi - \bruch{\pi}{2} + 2\pi*k[/mm]
> >
> >
> > Nun steht aber in der Lösung:
> >
> > [mm]\ x_{k} = \bruch{\pi}{2} + {\red{\pi*k}}[/mm]
> >
> > Ich versteh das nicht so ganz, denn die Periode [mm]\ \pi*k[/mm]
> > gilt doch nur für [mm]\ \tan[/mm] und [mm]\ \cot[/mm] Funktionen.
> >
> > Nachdem ich hier nur [mm]\ \sin[/mm] und [mm]\ \cos[/mm] Werte habe, sollte
> > das Ergebnis doch für die Periode [mm]\ 2\pi*k = 360°*k[/mm]
> > gelten.
> >
> > Ist das bloß ein Fehler in der Lösung oder liegt der Fehler
> > bei mir?
>
> Du hast da oben einmal falsch ersetzt
>
> Es ergibt sich [mm]2y^2+2y=0[/mm], also [mm]2y(y+1)=0[/mm]
>
> Also [mm]\cos(x)=0\vee\cos(x)=-1[/mm] ...
Ja, das versteh ich.
Nur wieso steht in der Lösung dann für die Periode $\ [mm] \pi*k [/mm] $ und nicht $\ [mm] 2*\pi*k$?
[/mm]
Das Problem läßt sich leider auch gerade mit korrektur nicht ganz lösen
>
>
> >
> > Würde mich über eine Antwort freuen,
> > vielen Dank
> >
> > Grüße,
> > ChopSuey
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Viele Grüße,
ChopSuey
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Hallo nochmal,
die Lösung scheint mir nicht ganz zu stimmen, sie erfasst nur die Stellen, wo [mm] $\cos(x)=0$ [/mm] ist, male dir das doch mal auf, die NSTen des Cosinus sind bei [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] und dann immer ganzzahlige Vielfache von [mm] $\pi$ [/mm] weiter oder davor!
Aber die Stellen, wo der Cosinus -1 wird, sind nicht erfasst, wie mir scheint.
Also noch [mm] $\{x=(2k+1)\pi\mid k\in\IZ\}$ [/mm] hinzunehmen, oder?
Muss leider schnell los, bin in Eile, isch stell's daher mal auf teilweise beantwortet
Bis später dann
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 29.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
> Hallo nochmal,
>
> die Lösung scheint mir nicht ganz zu stimmen, sie erfasst
> nur die Stellen, wo [mm]\cos(x)=0[/mm] ist, male dir das doch mal
> auf, die NSTen des Cosinus sind bei [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] und dann
> immer ganzzahlige Vielfache von [mm]\pi[/mm] weiter oder davor!
>
> Aber die Stellen, wo der Cosinus -1 wird, sind nicht
> erfasst, wie mir scheint.
>
> Also noch [mm]\{x=(2k+1)\pi\mid k\in\IZ\}[/mm] hinzunehmen, oder?
>
> Muss leider schnell los, bin in Eile, isch stell's daher
> mal auf teilweise beantwortet
>
> Bis später dann
>
> schachuzipus
Ja, stimmt. Die 2. Lösung fehlt natürlich, liegt eben daran, dass ich am Anfang beim Substituieren falsch eingesetzt hab und die 2. Lösung nicht im richtigen Intervall lag.
Deine Lösung stimmt natürlich.
Das mit den Nullstellen ist mir jetzt auch klar, hätte mir die Funktion ansehen sollen.
In meinem Buch steht der Satz (der mich nun zugegebenermaßen sehr verwirrt):
> Ist $\ [mm] x_{0} [/mm] $ eine Lösung von $\ [mm] \sin [/mm] x = a;\ [mm] \cos [/mm] x = a $ , so erhält
> man alle Lösungen von $\ [mm] \cos [/mm] x = a$ in der Form
> $\ [mm] x_{k}= x_{0} [/mm] + [mm] 2k\pi [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] + k*360° $
In dieser Aufgabe lautet meine Lösungsgleichung aber:
$\ [mm] x_{k}= \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] k\pi [/mm] = 90° + k*180° $
Dass $ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] $ eine Nullstelle ist, weiss ich. Auch, dass alle anderen Nullstellen ganzzahlige Vielfache von $\ [mm] \pi [/mm] $ sind
Aber irgendwie bin ich grad durch diesen Satz im Buch und meine Lösung hier ein bisschen verwirrt.
Danke für die Antworten bis jetzt,
Grüße
ChopSuey
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Hallo,
du willst ja cos(x)=0 lösen, also die Nullstellen bestimmen, jetzt sollte in deinem Mathebuch aber auch stehen: für die Nullstellen [mm] x_0 [/mm] gilt [mm] x_0=(2k+1)\bruch{\pi}{2}, [/mm] wobei [mm] k\in \IZ [/mm] ist, also ungeradzahlige Vielfache von [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] die Nullstellen haben immer einen Abstand von [mm] \pi, [/mm] innerhalb der kleinsten Periode [mm] 2\pi [/mm] hat die Kosinusfunktion zwei Nullstellen,
Steffi
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Hallo, dein Fehler ist bei der Substitution passiert
[mm] y^{2}+2y-sin^{2}x+sin^{2}x+y^{2}=0
[/mm]
[mm] 2y^{2}+2y=0
[/mm]
[mm] y^{2}+y=0
[/mm]
[mm] y_1=-1
[/mm]
[mm] y_2=0
[/mm]
jetzt Rücksubstitution
-1=cosx
[mm] \pi, -\pi, 3\pi, -3\pi, [/mm] ...
also [mm] \pi+k*2\pi
[/mm]
0=cosx
[mm] \bruch{\pi}{2}, -\bruch{\pi}{2}, \bruch{3\pi}{2}, -\bruch{3\pi}{2}, \bruch{5\pi}{2}, -\bruch{5\pi}{2}, [/mm] ...
also [mm] \bruch{\pi}{2}+k*\pi
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
das Bild sollte die letzten Klarheiten beseitigen
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 29.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Steffi!
vielen Dank auch Dir für die ausführliche Antwort, die hilft mir gerade ungemein, um so langsam dahinter zu kommen.
Nun seh ich gerade in meinem Buch, wo es nicht mehr nur um die Gleichungen, sondern um die Funktionen geht, den Satz:
> Die Nullstellen der trigonometrischen Funktionen sind
>
> $\ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] k\pi$, [/mm] $\ k [mm] \in \IZ$ [/mm] für $\ y= [mm] \sin [/mm] x$, $\ y = [mm] \tan [/mm] x $ und
>
> $\ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}+k\pi$, [/mm] $\ k [mm] \in \IZ$ [/mm] für $\ y= [mm] \cos [/mm] x$, $\ y [mm] =\cot [/mm] x $
Und nach deinen beiden Antworten kann ich mir also merken, dass die Lösung für
$\ [mm] \cos [/mm] x= 0$ und $\ [mm] \cot [/mm] x= 0$
$ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}+k\pi$ [/mm] ist
und für
$\ [mm] \sin [/mm] x = 0 $, $\ [mm] \tan [/mm] x = 0 $
$\ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] k\pi$, [/mm] $\ k [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt?
Wenn also $\ [mm] \cos [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0$ ist meine Lösung folglich $ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] x_{0}+2k\pi$ [/mm] , seh ich das richtig?
Viele Grüße,
ChopSuey
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Hallo nochmal,
> Hallo Steffi!
>
> vielen Dank auch Dir für die ausführliche Antwort, die
> hilft mir gerade ungemein, um so langsam dahinter zu
> kommen.
>
> Nun seh ich gerade in meinem Buch, wo es nicht mehr nur um
> die Gleichungen, sondern um die Funktionen geht, den Satz:
>
> > Die Nullstellen der trigonometrischen Funktionen sind
> >
> > [mm]\ x_{k} = k\pi[/mm], [mm]\ k \in \IZ[/mm] für [mm]\ y= \sin x[/mm], [mm]\ y = \tan x[/mm]
> und
> >
> > [mm]\ x_{k} = \bruch{\pi}{2}+k\pi[/mm], [mm]\ k \in \IZ[/mm] für [mm]\ y= \cos x[/mm],
> [mm]\ y =\cot x[/mm]
>
> Und nach deinen beiden Antworten kann ich mir also merken,
> dass die Lösung für
>
> [mm]\ \cos x= 0[/mm] und [mm]\ \cot x= 0[/mm]
>
> [mm]x_{k} = \bruch{\pi}{2}+k\pi[/mm] ist
>
> und für
>
> [mm]\ \sin x = 0 [/mm], [mm]\ \tan x = 0[/mm]
>
> [mm]\ x_{k} = k\pi[/mm], [mm]\ k \in \IZ[/mm] gilt?
Eigentlich musst du dir nur die NST(en) von [mm] $\sin,\cos$ [/mm] merken (oder zumindest die Graphen der beiden Funktionen - daran kannst du die ja immer schnell ablesen)
Dass die NST(en) des [mm] $\tan$ [/mm] und [mm] $\cot$ [/mm] dann entsprechend sind, ergibt sich ja aus [mm] $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
[/mm]
[mm] $\tan(x)$ [/mm] wird ja nur Null, wenn der Zähler Null wird, also [mm] $\sin(x)=0$
[/mm]
Dort ist auch der [mm] $\cos(x)$ [/mm] immer [mm] $\neq [/mm] 0$, also bestens
Genauso beim [mm] $\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ [/mm] ...
>
> Wenn also [mm]\ \cos x \not= 0[/mm] ist meine Lösung folglich [mm]x_{k} = x_{0}+2k\pi[/mm]
> , seh ich das richtig?
Du meinst für die Ausgangsgleichung im ersten post?
Ja, denn für [mm] $\cos(x)\neq [/mm] 0$ sind die Lösungen [mm] $\cos(x)=-1$
[/mm]
Das ist genau dein Ausdruck mit [mm] $x_0=\pi$
[/mm]
Siehe meine andere Antwort, da hatte ich das geschrieben als [mm] $x_k=(2k+1)\pi$
[/mm]
Umgeformt (ausmultipliziert): [mm] $x_k=\pi+2k\pi$
[/mm]
>
>
>
> Viele Grüße,
> ChopSuey
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 29.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
danke für die Antwort.
Gut, die NST der Sinusfunktion sind ja $\ 0, [mm] \pm \pi, \pm2\pi, \pm3\pi, [/mm] ... $
und die NST der Cosinusfunktion sind bei $\ [mm] \pm\bruch{\pi}{2},\pm\bruch{3\pi}{2},\pm\bruch{5\pi}{2},...$
[/mm]
Ich hab irgendwo den totalen Hänger gerade. Ich versuche es die ganze Zeit zu fassen aber ich kriegs einfach nicht hin.
Ich verstehe, dass die Gleichung $\ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \pm \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] k\pi [/mm] $ alle Lösungen von $\ [mm] \cos [/mm] x = 0 $ enthält.
Aber ich kann einfach nicht nachvollziehen, wieso für $\ cos x = -1 $ die Gleichung $\ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \pm \pi [/mm] + [mm] {\red{2}}k\pi [/mm] $ lautet.
Mir ist klar, dass $\ x = [mm] (2k+1)\pi [/mm] $ ausmultipliziert die letzte Gleichung ergibt, aber was ist, wenn $\ [mm] \cos [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ gelöst werden soll?
Für $\ [mm] \cos [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ erhalte ich $\ [mm] x_{0} [/mm] = 60° = [mm] \bruch{\pi}{3}$ [/mm] und hier weiss ich natürlich, dass an der Stelle $\ [mm] x_{0}$ [/mm] die Funktion den Funktionswert $\ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] hat aber hier gilt vermutlich wieder die Lösungsgleichung $\ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \pm \pi [/mm] + [mm] {\red{2}}k\pi [/mm] $ und wenn ich für $\ k = 1,2,3,... $ einsetze, wird automatisch ja folglich jeder Wert von $\ k $ mit $\ 2 $ multipliziert und nachdem die Nullstellen immer im Abstand $\ [mm] \pi$ [/mm] auftauchen, werden einige viele Nullstellen garnicht ermittelt durch $\ [mm] 2k\pi$. [/mm] Viele Nullstellen liegen zwischen dem Abstand $\ [mm] 2k\pi$
[/mm]
Hm...ich bin echt durcheinander.
Würde mich über Hilfe weiterhin sehr freuen,
grüße
ChopSuey
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Hallo, ich glaube jetzt zu wissen, wo dein Problem liegt
[mm] cos(x)=\bruch{1}{2}
[/mm]
die 1. Lösung lautet: [mm] x_1=60^{0} [/mm] liefert der Taschenrechner
die 2. Lösung lautet: [mm] x_2=300^{0} [/mm] die bekommst du über die Quadrantenbeziehung [mm] 360^{0}-x_1
[/mm]
so und jetzt kommt die Periode in's Spiel:
für die 1. Lösung: [mm] 60^{0}+k*360^{0}
[/mm]
für die 2. Lösung: [mm] 300^{0}+k*360^{0}
[/mm]
k ist Element ganze Zahlen, du kannst natürlich alles auch im Bogenmaß aufschreiben,
jetzt klar(er)?
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Di 30.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo ChopSuey,
ich will mich gerade nicht durch den ganzen Thread arbeiten, sehe aber die Frage nach den Perioden:
> Was mich total aus der Bahn wirft ist, wieso die Periode
> für [mm]\ \cos{x}=\bruch{1}{2}[/mm] [mm]\ 360°=2\pi[/mm] beträgt und für [mm]\ \cos{x}=0[/mm] nur [mm]\ 180°=\pi[/mm]
Innerhalb einer Cosinus- (oder auch: Sinus-)Periode von [mm] 2\pi [/mm] wird der Wert 0 ja zweimal erreicht, und das im regelmäßigen Abstand von [mm] \pi.
[/mm]
Darum lesen sich trigonometrische Lösungen ja gerne wie folgt:
[mm] x=\pm\arccos{y}+2k\pi,\ k\in\IZ
[/mm]
oder [mm] x=\bruch{\pi}{2}\pm(\bruch{\pi}{2}-\arcsin{y})+2k\pi,\ k\in\IZ
[/mm]
Soweit die allgemeine Formulierung. Im Sonderfall y=0 werden die Lösungen gerne anders formuliert (und lassen eigentlich nur das [mm] \pm [/mm] aus):
[mm] x=\bruch{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\IZ [/mm] (für den Cosinus)
bzw. [mm] x=k\pi,\ k\in\IZ [/mm] (für den Sinus)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Di 30.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo reverend,
vielen Dank für diesen Zwischenruf. Bin über jede Hilfe sehr dankbar.
> Hallo ChopSuey,
>
> ich will mich gerade nicht durch den ganzen Thread
> arbeiten, sehe aber die Frage nach den Perioden:
>
> > Was mich total aus der Bahn wirft ist, wieso die Periode
> > für [mm]\ \cos{x}=\bruch{1}{2}[/mm] [mm]\ 360°=2\pi[/mm] beträgt und für [mm]\ \cos{x}=0[/mm]
> nur [mm]\ 180°=\pi[/mm]
>
> Innerhalb einer Cosinus- (oder auch: Sinus-)Periode von
> [mm]2\pi[/mm] wird der Wert 0 ja zweimal erreicht, und das im
> regelmäßigen Abstand von [mm]\pi.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") genau, das weiss ich.
>
> Darum lesen sich trigonometrische Lösungen ja gerne wie
> folgt:
>
> [mm]x=\pm\arccos{y}+2k\pi,\ k\in\IZ[/mm]
>
> oder [mm]x=\bruch{\pi}{2}\pm(\bruch{\pi}{2}-\arcsin{y})+2k\pi,\ k\in\IZ[/mm]
>
> Soweit die allgemeine Formulierung. Im Sonderfall y=0
> werden die Lösungen gerne anders formuliert (und lassen
> eigentlich nur das [mm]\pm[/mm] aus):
>
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\IZ[/mm] (für den Cosinus)
>
> bzw. [mm]x=k\pi,\ k\in\IZ[/mm] (für den Sinus)
Kann man also allgemein sagen, dass für $\ [mm] \sin [/mm] x = a$ für den fall dass $\ a= 0 $ ist, die Lösung $ [mm] x=\bruch{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\IZ [/mm] $ und für $\ [mm] \cos [/mm] x = 0$ die Lösung $ [mm] x=\bruch{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\IZ [/mm] $ gilt?
Wenn dem so ist, wäre ich nicht mehr ganz so sehr verwirrt.
Wie oben bereits erwähnt, steht in meinem Buch:
> Die Nullstellen der trigonometrischen Funktionen sind
>
> $ \ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] k\pi [/mm] $, $ \ k [mm] \in \IZ [/mm] $ für $ \ y= [mm] \sin [/mm] x $, $ \ y = [mm] \tan [/mm] x $ und
>
> $ \ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}+k\pi [/mm] $, $ \ k [mm] \in \IZ [/mm] $ für $ \ y= [mm] \cos [/mm] x $, $ \ y [mm] =\cot [/mm] x $
Was ja dem entspricht, was du eben erwähnst.
Vielleicht findet sich ja noch wer, der meinen Knoten zu lösen weiss.
Vielen Dank soweit.
Grüße,
ChopSuey
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Hi ChopSuey,
nur kurz eines:
> Kann man also allgemein sagen, dass für [mm]\ \sin x = a[/mm] für
> den fall dass [mm]\ a= 0[/mm] ist, die Lösung
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\IZ[/mm]
Was ist für $k=0$
Dann hast du [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\neq [/mm] 0=a$
oben steht doch schon, dass [mm] $\sin(x)=0$ [/mm] für [mm] $x=k\pi$ [/mm] ist
> und für [mm]\ \cos x = 0[/mm] die
> Lösung [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\IZ[/mm] gilt?
Ja, das passt ja auch zu den NST(en) des Sinus, die Graphen von Sinus und Cosinus sind ja um [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] verschoben
>
> Wenn dem so ist, wäre ich nicht mehr ganz so sehr
> verwirrt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 Di 30.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
natürlich! Danke, da hab ich was falsch kopiert Ich meinte das richtige.
Danke für den Hinweis.
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Hallo ChopSuey,
> Hallo reverend,
>
> vielen Dank für diesen Zwischenruf. Bin über jede Hilfe
> sehr dankbar.
>
> > Hallo ChopSuey,
> >
> > ich will mich gerade nicht durch den ganzen Thread
> > arbeiten, sehe aber die Frage nach den Perioden:
> >
> > > Was mich total aus der Bahn wirft ist, wieso die Periode
> > > für [mm]\ \cos{x}=\bruch{1}{2}[/mm] [mm]\ 360°=2\pi[/mm] beträgt und für [mm]\ \cos{x}=0[/mm]
> > nur [mm]\ 180°=\pi[/mm]
> >
> > Innerhalb einer Cosinus- (oder auch: Sinus-)Periode von
> > [mm]2\pi[/mm] wird der Wert 0 ja zweimal erreicht, und das im
> > regelmäßigen Abstand von [mm]\pi.[/mm]
>
> genau, das weiss ich.
>
> >
> > Darum lesen sich trigonometrische Lösungen ja gerne wie
> > folgt:
> >
> > [mm]x=\pm\arccos{y}+2k\pi,\ k\in\IZ[/mm]
> >
> > oder [mm]x=\bruch{\pi}{2}\pm(\bruch{\pi}{2}-\arcsin{y})+2k\pi,\ k\in\IZ[/mm]
>
> >
> > Soweit die allgemeine Formulierung. Im Sonderfall y=0
> > werden die Lösungen gerne anders formuliert (und lassen
> > eigentlich nur das [mm]\pm[/mm] aus):
> >
> > [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\IZ[/mm] (für den Cosinus)
> >
> > bzw. [mm]x=k\pi,\ k\in\IZ[/mm] (für den Sinus)
>
> Kann man also allgemein sagen, dass für [mm]\ \sin x = a[/mm] für
> den fall dass [mm]\ a= 0[/mm] ist, die Lösung
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\IZ[/mm] und für [mm]\ \cos x = 0[/mm] die
Für die Gleichung
[mm]\sin\left(x\right)=0[/mm]
sind die Lösungen gegeben durch
[mm]x=k\pi,\ k \in \IZ[/mm]
> Lösung [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\IZ[/mm] gilt?
>
> Wenn dem so ist, wäre ich nicht mehr ganz so sehr
> verwirrt.
Das ist so.
> Wie oben bereits erwähnt, steht in meinem Buch:
>
> > Die Nullstellen der trigonometrischen Funktionen sind
>
> >
> > [mm]\ x_{k} = k\pi [/mm], [mm]\ k \in \IZ[/mm] für [mm]\ y= \sin x [/mm], [mm]\ y = \tan x[/mm]
> und
>
> >
> > [mm]\ x_{k} = \bruch{\pi}{2}+k\pi [/mm], [mm]\ k \in \IZ[/mm] für [mm]\ y= \cos x [/mm],
> [mm]\ y =\cot x[/mm]
>
> Was ja dem entspricht, was du eben erwähnst.
>
> Vielleicht findet sich ja noch wer, der meinen Knoten zu
> lösen weiss.
> Vielen Dank soweit.
>
> Grüße,
> ChopSuey
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Di 30.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Mathepower,
danke für die Hilfe.
So, ich denke ich habs nun einigermaßen gekaut. DAnn schliess ich das hier mal ab mit der Zusammenfassung:
$\ [mm] \sin [/mm] x = y $, $\ [mm] \cos [/mm] x = y $ mit $ y [mm] \not= [/mm] 0$ die Lösung $\ x = [mm] x_{0} [/mm] + [mm] 2k\pi$ [/mm] und $\ x = [mm] \pi- x_{0} [/mm] + [mm] 2k\pi$
[/mm]
und für
$\ [mm] \cot [/mm] x = y $, $\ [mm] \tan [/mm] x = y $ mit $ y [mm] \not= [/mm] 0$ die Lösung $\ x = [mm] x_{0} [/mm] + [mm] k\pi$ [/mm] und $\ x = [mm] -x_{0} [/mm] + [mm] k\pi$ [/mm] gilt.
Die Nullstellen für $\ [mm] \sin [/mm] x = y $ und $\ [mm] \tan [/mm] x = y $ sind $\ x = [mm] k\pi$
[/mm]
Die Nullstellen für $\ [mm] \cos [/mm] x = y $ und $\ [mm] \cot [/mm] x = y $ sind $\ x = [mm] \bruch{\pi}{2}+ k\pi$
[/mm]
Sollte nun hoffentlich stimmen
Vielen Dank für die zahlreichen und geduldigen Hilfestellungen!
Schönen Abend noch,
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mo 29.12.2008 | | Autor: | weduwe |
alles klar?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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