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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Fr 10.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Nullstellen der folgenden Polynomfunktion:
[mm] y=\wurzel{3}cos(x)-sin(x) [/mm] |
Guten Abend,
eine Frage an Euch. Habe mir gerade nach längerer Zeit wieder mal trigonometrische Gleichungen vorgenommen.
[mm] \wurzel{3}cos(x)-sin(x)=0
[/mm]
[mm] \wurzel{3}cos(x)-(\wurzel{1-cos^{2}(x)})=0
[/mm]
[mm] 3cos^{2}(x)-(1-cos^2(x))=0
[/mm]
[mm] 3cos^{2}(x)-1+cos^2(x)=0
[/mm]
[mm] 4cos^{2}(x)=1
[/mm]
[mm] cos^{2}(x)=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] cos(x)=\pm\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x_{1}=\bruch{\pi}{3}+2\pi*k
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{2\pi}{3}+2\pi*k
[/mm]
[mm] x_{3}=-\bruch{2\pi}{3}+2\pi*k
[/mm]
[mm] \left(x_{3}=\bruch{4\pi}{3}+2\pi*k\right)
[/mm]
Würde das auch gehen???
[mm] x_{4}=-\bruch{\pi}{3}+2\pi*k
[/mm]
Was sagt Ihr dazu? Ist es richtig?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Ermitteln Sie die Nullstellen der folgenden
> Polynomfunktion:
>
> [mm]y=\wurzel{3}cos(x)-sin(x)[/mm]
> Guten Abend,
>
> eine Frage an Euch. Habe mir gerade nach längerer Zeit
> wieder mal trigonometrische Gleichungen vorgenommen.
>
> [mm]\wurzel{3}cos(x)-sin(x)=0[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3}cos(x)-(\wurzel{1-cos^{2}(x)})=0[/mm]
>
> [mm]3cos^{2}(x)-(1-cos^2(x))=0[/mm]
>
Das Quadrat einer Summe/Differenz ist nicht die
Summe/Differenz der Quadrate der einzelnen Summanden
[mm]\left(\wurzel{3}cos(x)-(\wurzel{1-cos^{2}(x)})\right)^{2} \not= \left(\wurzel{3}cos(x)\right)^{2}-\left(\wurzel{1-cos^{2}(x)}\right)^{2}[/mm]
Die Gleichung muss vielmehr so lauten:
[mm]\wurzel{3}cos(x)=\wurzel{1-cos^{2}(x)}[/mm]
Jetzt kannst Du quadrieren.
> [mm]3cos^{2}(x)-1+cos^2(x)=0[/mm]
>
Und dies kommt hier nach Umformung zufällig auch heraus.
> [mm]4cos^{2}(x)=1[/mm]
>
> [mm]cos^{2}(x)=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]cos(x)=\pm\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=\bruch{\pi}{3}+2\pi*k[/mm]
>
> [mm]x_{2}=\bruch{2\pi}{3}+2\pi*k[/mm]
>
> [mm]x_{3}=-\bruch{2\pi}{3}+2\pi*k[/mm]
>
> [mm]\left(x_{3}=\bruch{4\pi}{3}+2\pi*k\right)[/mm]
>
> Würde das auch gehen???
>
> [mm]x_{4}=-\bruch{\pi}{3}+2\pi*k[/mm]
>
Setze Deine Lösungen inb die gegebene Gleichung ein,
und prüfe ob das wirklich Lösungen sind.
> Was sagt Ihr dazu? Ist es richtig?
>
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Fr 10.02.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo mbau16,
>
> > Ermitteln Sie die Nullstellen der folgenden
> > Polynomfunktion:
> >
> > [mm]y=\wurzel{3}cos(x)-sin(x)[/mm]
> > Guten Abend,
> >
> > eine Frage an Euch. Habe mir gerade nach längerer Zeit
> > wieder mal trigonometrische Gleichungen vorgenommen.
> >
> > [mm]\wurzel{3}cos(x)-sin(x)=0[/mm]
> >
> > [mm]\wurzel{3}cos(x)-(\wurzel{1-cos^{2}(x)})=0[/mm]
> >
> > [mm]3cos^{2}(x)-(1-cos^2(x))=0[/mm]
> >
>
>
> Das Quadrat einer Summe/Differenz ist nicht die
> Summe/Differenz der Quadrate der einzelnen Summanden
>
> [mm]\left(\wurzel{3}cos(x)-(\wurzel{1-cos^{2}(x)})\right)^{2} \not= \left(\wurzel{3}cos(x)\right)^{2}-\left(\wurzel{1-cos^{2}(x)}\right)^{2}[/mm]
>
> Die Gleichung muss vielmehr so lauten:
>
> [mm]\wurzel{3}cos(x)=\wurzel{1-cos^{2}(x)}[/mm]
Das stimmt nicht ganz. Es ist sin(x) NICHT in jedem Fall gleich [mm]\wurzel{1-cos^{2}(x)}[/mm]. Wenn sin(x) negativ ist, gilt nämlich
sin(x)=[mm]-\wurzel{1-cos^{2}(x)}[/mm].
Ein wesentlich einfacherer Weg (der nicht diese Fallunterscheidung erfordert) besteht darin,
[mm] $\wurzel{3}cos(x)-sin(x)=0$ [/mm] auf beiden Seiten durch cos(x) zu teilen.
Gruß Abakus
>
> Jetzt kannst Du quadrieren.
>
>
> > [mm]3cos^{2}(x)-1+cos^2(x)=0[/mm]
> >
>
>
> Und dies kommt hier nach Umformung zufällig auch heraus.
>
>
> > [mm]4cos^{2}(x)=1[/mm]
> >
> > [mm]cos^{2}(x)=\bruch{1}{4}[/mm]
> >
> > [mm]cos(x)=\pm\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > [mm]x_{1}=\bruch{\pi}{3}+2\pi*k[/mm]
> >
> > [mm]x_{2}=\bruch{2\pi}{3}+2\pi*k[/mm]
> >
> > [mm]x_{3}=-\bruch{2\pi}{3}+2\pi*k[/mm]
> >
> > [mm]\left(x_{3}=\bruch{4\pi}{3}+2\pi*k\right)[/mm]
> >
> > Würde das auch gehen???
> >
> > [mm]x_{4}=-\bruch{\pi}{3}+2\pi*k[/mm]
> >
>
>
> Setze Deine Lösungen inb die gegebene Gleichung ein,
> und prüfe ob das wirklich Lösungen sind.
>
>
> > Was sagt Ihr dazu? Ist es richtig?
> >
> > Vielen Dank
> >
> > Gruß
> >
> > mbau16
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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