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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Trigonometrische Gleichungen
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Trigonometrische Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Mi 23.02.2011
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechne alle Lösungen

a) [mm] 4*sin(x-3\pi) [/mm] = 3,5

b) cos(5x+7) = 0,8

c) sin(4x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Moin,

ist das so richtig?


a) [mm] 4*sin(x-3\pi) [/mm] = 3,5

[mm] sin(x-3\pi) [/mm] = 0,875  

Substitution

z = x - [mm] 3\pi [/mm]

sin(z) = 0,875   | arcsin

[mm] z_1 [/mm] = 1,0654  [mm] +2k\pi [/mm]   -----   [mm] z_2 [/mm] = [mm] \pi [/mm] - [mm] z_1 +2k\pi [/mm]
                                        [mm] z_2 [/mm] = 2,0762  [mm] +2k\pi [/mm]

Resubstitution

x [mm] -3\pi [/mm] = z

[mm] x_1 [/mm] - [mm] 3\pi [/mm] = 1,0654  [mm] +2k\pi [/mm]   -----   [mm] x_2 [/mm] - [mm] 3\pi [/mm] = 2,0762  [mm] +2k\pi [/mm]

[mm] x_1 [/mm] = 10,4902  [mm] +2k\pi [/mm]   -----   [mm] x_2 [/mm] = 11,5010  [mm] +2k\pi [/mm]



b) cos(5x+7) = 0,8

Substitution

z = 5x +7

cos(z) = 0,8   | arccos

[mm] z_1 [/mm] = 0,6435  [mm] +2k\pi [/mm]   -----   [mm] z_2 [/mm] = [mm] \pi [/mm] - [mm] z_1 +2k\pi [/mm]
                                     [mm] z_2 [/mm] = 2,4981  [mm] +2k\pi [/mm]

Resubstitution

5x + 7 = z

[mm] 5*x_1 [/mm] +7 = 0,6435  [mm] +2k\pi [/mm]   -----   [mm] 5*x_2 [/mm] + 7 = 2,4981  [mm] +2k\pi [/mm]

[mm] 5*x_1 [/mm] = -6,3565  [mm] +2k\pi [/mm]   -----   [mm] 5*x_2 [/mm] = -4,5019  [mm] +2k\pi [/mm]

[mm] x_1 [/mm] = -1,2713  [mm] +\bruch{2}{5}k\pi [/mm]   -----  [mm] x_2 [/mm] = -0,90038 + [mm] \bruch{2}{5}k\pi [/mm]



c) sin(4x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Substitution

z = 4x

sin(z) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]   | arcsin

[mm] z_1 [/mm] = 0,5236  [mm] +2k\pi [/mm]   -----   [mm] z_2 [/mm] = [mm] \pi [/mm] - [mm] z_1 +2k\pi [/mm]
                                     [mm] z_2 [/mm] = 2,618  [mm] +2k\pi [/mm]

Resubstitution

4x = z

[mm] 4*x_1 [/mm] = 0,5236  [mm] +2k\pi 4*x_2 [/mm] = 2,618  [mm] +2k\pi [/mm]

[mm] x_1 [/mm] = 0,1309  [mm] +\bruch{2}{4}k\pi [/mm]   -----   [mm] x_2 [/mm] = 2,618  [mm] +\bruch{2}{4}k\pi [/mm]

[mm] x_1 [/mm] = 0,1309  [mm] +\bruch{k\pi}{2} [/mm]   -----   [mm] x_2 [/mm] = 2,618 + [mm] \bruch{k\pi}{2} [/mm]


Danke & Gruß
        
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:28 Mi 23.02.2011
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Berechne alle Lösungen
>
> a) [mm]4*sin(x-3\pi)[/mm] = 3,5
>  
> b) cos(5x+7) = 0,8
>  
> c) sin(4x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  Moin,
>  
> ist das so richtig?
>  
>
> a) [mm]4*sin(x-3\pi)[/mm] = 3,5
>  
> [mm]sin(x-3\pi)[/mm] = 0,875  
>
> Substitution
>  
> z = x - [mm]3\pi[/mm]
>  
> sin(z) = 0,875   | arcsin
>  
> [mm]z_1[/mm] = 1,0654  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]z_2[/mm] = [mm]\pi[/mm] - [mm]z_1 +2k\pi[/mm]
>      
>                                     [mm]z_2[/mm] = 2,0762  [mm]+2k\pi[/mm]
>  
> Resubstitution
>  
> x [mm]-3\pi[/mm] = z
>  
> [mm]x_1[/mm] - [mm]3\pi[/mm] = 1,0654  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]x_2[/mm] - [mm]3\pi[/mm] = 2,0762  
> [mm]+2k\pi[/mm]
>  
> [mm]x_1[/mm] = 10,4902  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]x_2[/mm] = 11,5010  [mm]+2k\pi[/mm]
>  


[ok]


>
>
> b) cos(5x+7) = 0,8
>  
> Substitution
>  
> z = 5x +7
>  
> cos(z) = 0,8   | arccos
>  
> [mm]z_1[/mm] = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]z_2[/mm] = [mm]\pi[/mm] - [mm]z_1 +2k\pi[/mm]
>      
>                                  [mm]z_2[/mm] = 2,4981  [mm]+2k\pi[/mm]
>  
> Resubstitution
>  
> 5x + 7 = z
>  
> [mm]5*x_1[/mm] +7 = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] + 7 = 2,4981  
> [mm]+2k\pi[/mm]
>  
> [mm]5*x_1[/mm] = -6,3565  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] = -4,5019  [mm]+2k\pi[/mm]
>  
> [mm]x_1[/mm] = -1,2713  [mm]+\bruch{2}{5}k\pi[/mm]   -----  [mm]x_2[/mm] = -0,90038 +
> [mm]\bruch{2}{5}k\pi[/mm]
>  


[mm]x_{1}[/mm] stimmt, [mm]x_{2}[/mm] mußt nochmal nachrechnen.


>
>
> c) sin(4x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> Substitution
>  
> z = 4x
>
> sin(z) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]   | arcsin
>  
> [mm]z_1[/mm] = 0,5236  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]z_2[/mm] = [mm]\pi[/mm] - [mm]z_1 +2k\pi[/mm]
>      
>                                  [mm]z_2[/mm] = 2,618  [mm]+2k\pi[/mm]
>  
> Resubstitution
>  
> 4x = z
>  
> [mm]4*x_1[/mm] = 0,5236  [mm]+2k\pi 4*x_2[/mm] = 2,618  [mm]+2k\pi[/mm]
>  
> [mm]x_1[/mm] = 0,1309  [mm]+\bruch{2}{4}k\pi[/mm]   -----   [mm]x_2[/mm] = 2,618  
> [mm]+\bruch{2}{4}k\pi[/mm]
>  
> [mm]x_1[/mm] = 0,1309  [mm]+\bruch{k\pi}{2}[/mm]   -----   [mm]x_2[/mm] = 2,618 +
> [mm]\bruch{k\pi}{2}[/mm]
>  


[mm]x_{1}[/mm] stimmt., bei [mm]x_{2}[/mm]  ist vergessen worden,
die Zahl 2,618 durch 4 zu dividieren.


>
> Danke & Gruß


Gruss
MathePower
Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Do 24.02.2011
Autor: hase-hh

Moin Moin,

b) cos(5x+7) = 0,8
  
Substitution
  
z = 5x +7
  
cos(z) = 0,8   | arccos
  
[mm]z_1[/mm] = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]z_2[/mm] = [mm]\pi[/mm] - [mm]z_1 +2k\pi[/mm]

      
                              [mm]z_2[/mm] = 2,4981  [mm]+2k\pi[/mm]

Resubstitution

5x + 7 = z
  
[mm]5*x_1[/mm] +7 = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] + 7 = 2,4981   [mm]+2k\pi[/mm]
  
[mm]5*x_1[/mm] = -6,3565  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] = -4,5019  [mm]+2k\pi[/mm]
  
[mm]x_1[/mm] = -1,2713  [mm]+\bruch{2}{5}k\pi[/mm]   -----  [mm]x_2[/mm] = -0,90038 +  [mm]\bruch{2}{5}k\pi[/mm]
  


[mm]x_{1}[/mm] stimmt, [mm]x_{2}[/mm] mußt nochmal nachrechnen.
  
Bei [mm] x_2 [/mm] finde ich keinen Fehler?! Oder ist der Ansatz falsch???



Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Do 24.02.2011
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Moin Moin,
>  
> b) cos(5x+7) = 0,8
>    
> Substitution
>    
> z = 5x +7
>    
> cos(z) = 0,8   | arccos
>    
> [mm]z_1[/mm] = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]z_2[/mm] = [mm]\pi[/mm] - [mm]z_1 +2k\pi[/mm]
>  
>
> [mm]z_2[/mm] = 2,4981  [mm]+2k\pi[/mm]
>  
> Resubstitution
>  
> 5x + 7 = z
>    
> [mm]5*x_1[/mm] +7 = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] + 7 = 2,4981  
> [mm]+2k\pi[/mm]
>    
> [mm]5*x_1[/mm] = -6,3565  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] = -4,5019  [mm]+2k\pi[/mm]
>    
> [mm]x_1[/mm] = -1,2713  [mm]+\bruch{2}{5}k\pi[/mm]   -----  [mm]x_2[/mm] = -0,90038 +  
> [mm]\bruch{2}{5}k\pi[/mm]
>    
>
>
> [mm]x_{1}[/mm] stimmt, [mm]x_{2}[/mm] mußt nochmal nachrechnen.
>    
> Bei [mm]x_2[/mm] finde ich keinen Fehler?! Oder ist der Ansatz
> falsch???
>


Dann prüfe, ob [mm]x_{2}[/mm] die Gleichung

[mm]\cos\left(5*x_{2}+7\right)=0,8[/mm]

erfüllt.


Gruss
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Do 24.02.2011
Autor: hase-hh

Moin Mathe-P.,

> Hallo hase-hh,
>  
> > Moin Moin,
>  >  
> > b) cos(5x+7) = 0,8
>  >    
> > Substitution
>  >    
> > z = 5x +7
>  >    
> > cos(z) = 0,8   | arccos
>  >    
> > [mm]z_1[/mm] = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]z_2[/mm] = [mm]\pi[/mm] - [mm]z_1 +2k\pi[/mm]
>  >

>  
> >
> > [mm]z_2[/mm] = 2,4981  [mm]+2k\pi[/mm]
>  >  
> > Resubstitution
>  >  
> > 5x + 7 = z
>  >    
> > [mm]5*x_1[/mm] +7 = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] + 7 = 2,4981  
> > [mm]+2k\pi[/mm]
>  >    
> > [mm]5*x_1[/mm] = -6,3565  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] = -4,5019  [mm]+2k\pi[/mm]
>  >    
> > [mm]x_1[/mm] = -1,2713  [mm]+\bruch{2}{5}k\pi[/mm]   -----  [mm]x_2[/mm] = -0,90038 +  
> > [mm]\bruch{2}{5}k\pi[/mm]
>  >    
> >
> >
> > [mm]x_{1}[/mm] stimmt, [mm]x_{2}[/mm] mußt nochmal nachrechnen.
>  >    
> > Bei [mm]x_2[/mm] finde ich keinen Fehler?! Oder ist der Ansatz
> > falsch???
> >
>
>
> Dann prüfe, ob [mm]x_{2}[/mm] die Gleichung
>  
> [mm]\cos\left(5*x_{2}+7\right)=0,8[/mm]
>  
> erfüllt.


cos(2,4981) = -0,8  

und nun?
Bezug
                                        
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Do 24.02.2011
Autor: MathePower

Hallo hase_hh,

> Moin Mathe-P.,
>  
> > Hallo hase-hh,
>  >  
> > > Moin Moin,
>  >  >  
> > > b) cos(5x+7) = 0,8
>  >  >    
> > > Substitution
>  >  >    
> > > z = 5x +7
>  >  >    
> > > cos(z) = 0,8   | arccos
>  >  >    
> > > [mm]z_1[/mm] = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]z_2[/mm] = [mm]\pi[/mm] - [mm]z_1 +2k\pi[/mm]
>  
> >  >

> >  

> > >
> > > [mm]z_2[/mm] = 2,4981  [mm]+2k\pi[/mm]
>  >  >  
> > > Resubstitution
>  >  >  
> > > 5x + 7 = z
>  >  >    
> > > [mm]5*x_1[/mm] +7 = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] + 7 = 2,4981  
> > > [mm]+2k\pi[/mm]
>  >  >    
> > > [mm]5*x_1[/mm] = -6,3565  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] = -4,5019  [mm]+2k\pi[/mm]
>  >  >    
> > > [mm]x_1[/mm] = -1,2713  [mm]+\bruch{2}{5}k\pi[/mm]   -----  [mm]x_2[/mm] = -0,90038 +  
> > > [mm]\bruch{2}{5}k\pi[/mm]
>  >  >    
> > >
> > >
> > > [mm]x_{1}[/mm] stimmt, [mm]x_{2}[/mm] mußt nochmal nachrechnen.
>  >  >    
> > > Bei [mm]x_2[/mm] finde ich keinen Fehler?! Oder ist der Ansatz
> > > falsch???
> > >
> >
> >
> > Dann prüfe, ob [mm]x_{2}[/mm] die Gleichung
>  >  
> > [mm]\cos\left(5*x_{2}+7\right)=0,8[/mm]
>  >  
> > erfüllt.
>  
>
> cos(2,4981) = -0,8  
>
> und nun?


[mm]z_{2}[/mm] ist falsch berechnet worden.

Vielmehr muß

[mm]z_{2}=\red{2}\pi-z_{1}+2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]

sein.


Bezug
                                                
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Do 24.02.2011
Autor: hase-hh

Jetzt habe ich:

b) cos(5x+7) = 0,8
    
Substitution
z = 5x +7
  
cos(z) = 0,8   | arccos
    
[mm]z_1[/mm] = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----  

[mm]z_2[/mm] = [mm]2*\pi[/mm] - [mm]z_1 +2k\pi[/mm]

[mm]z_2[/mm] = 5,6397  [mm]+2k\pi[/mm]

Resubstitution
5x + 7 = z
    
[mm]5*x_1[/mm] +7 = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] + 7 = 5,6397  [mm]+2k\pi[/mm]

[mm]5*x_1[/mm] = -6,3565  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] = -1,3603  [mm]+2k\pi[/mm]
  
[mm]x_1[/mm] = -1,2713  [mm]+\bruch{2}{5}k\pi[/mm]   -----  [mm]x_2[/mm] = -0,2721 +  [mm]\bruch{2}{5}k\pi[/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Do 24.02.2011
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Jetzt habe ich:
>  
> b) cos(5x+7) = 0,8
>      
> Substitution
>  z = 5x +7
>    
> cos(z) = 0,8   | arccos
>      
> [mm]z_1[/mm] = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----  
>
> [mm]z_2[/mm] = [mm]2*\pi[/mm] - [mm]z_1 +2k\pi[/mm]
>  
> [mm]z_2[/mm] = 5,6397  [mm]+2k\pi[/mm]
>  
> Resubstitution
>  5x + 7 = z
>      
> [mm]5*x_1[/mm] +7 = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] + 7 = 5,6397  
> [mm]+2k\pi[/mm]
>  
> [mm]5*x_1[/mm] = -6,3565  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] = -1,3603  [mm]+2k\pi[/mm]
>    
> [mm]x_1[/mm] = -1,2713  [mm]+\bruch{2}{5}k\pi[/mm]   -----  [mm]x_2[/mm] = -0,2721 +  
> [mm]\bruch{2}{5}k\pi[/mm]
>  

  

Jetzt stimmt's. [ok]


Gruss
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 Do 24.02.2011
Autor: abakus


> Hallo hase-hh,
>  
> > Moin Moin,
>  >  
> > b) cos(5x+7) = 0,8
>  >    
> > Substitution
>  >    
> > z = 5x +7
>  >    
> > cos(z) = 0,8   | arccos
>  >    
> > [mm]z_1[/mm] = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]z_2[/mm] = [mm]\pi[/mm] - [mm]z_1 +2k\pi[/mm]

Hallo,
hier hast du eine Quadrantenbeziehung angewendet, die NICHT für den Kosinus, sondern für den Sinus gilt.
Richtig ist z.B. [mm] z_2=-z_1 [/mm]  (oder [mm] 2\pi-z_1). [/mm]
Gruß Abakus

>  >

>  
> >
> > [mm]z_2[/mm] = 2,4981  [mm]+2k\pi[/mm]
>  >  
> > Resubstitution
>  >  
> > 5x + 7 = z
>  >    
> > [mm]5*x_1[/mm] +7 = 0,6435  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] + 7 = 2,4981  
> > [mm]+2k\pi[/mm]
>  >    
> > [mm]5*x_1[/mm] = -6,3565  [mm]+2k\pi[/mm]   -----   [mm]5*x_2[/mm] = -4,5019  [mm]+2k\pi[/mm]
>  >    
> > [mm]x_1[/mm] = -1,2713  [mm]+\bruch{2}{5}k\pi[/mm]   -----  [mm]x_2[/mm] = -0,90038 +  
> > [mm]\bruch{2}{5}k\pi[/mm]
>  >    
> >
> >
> > [mm]x_{1}[/mm] stimmt, [mm]x_{2}[/mm] mußt nochmal nachrechnen.
>  >    
> > Bei [mm]x_2[/mm] finde ich keinen Fehler?! Oder ist der Ansatz
> > falsch???
> >
>
>
> Dann prüfe, ob [mm]x_{2}[/mm] die Gleichung
>  
> [mm]\cos\left(5*x_{2}+7\right)=0,8[/mm]
>  
> erfüllt.
>  
>
> Gruss
>  MathePower

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Trigonometrische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Do 24.02.2011
Autor: hase-hh

Moin abakus,

vielen Dank!!

Endlich eine Information, die mir hilft, zu verstehen, was an meinem Ansatz und vor allem warum mein Ansatz falsch ist.


:-)



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