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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Mi 21.12.2011 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie alle Werte für x in den trigonometrischen Gleichungen:
[mm] cos(2x)+3cos^2(x)=0 [/mm] |
Moin, eine Frage an euch:
[mm] cos(2x)+3cos^2(x)=0
[/mm]
[mm] cos^2(x)-sin^2(x)+3cos^2(x)=0
[/mm]
[mm] 4cos^2(x)-sin^2(x)=0
[/mm]
[mm] 4cos^2(x)\pm1-cos^2(x)=0
[/mm]
[mm] 3cos^2(x)\pm1=0 [/mm]
[mm] 3cos^2(x)=\mp1
[/mm]
[mm] cos^2(x)=\mp\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] cos(x)=\mp\wurzel{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Wo ist mein Fehler, komm nicht drauf!
Danke für die Hilfe
Gruß
mbau16
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Hallo,
die Fallunterscheidung ('Plus/Minus') verstehe ich nicht. So lange man Quadrate hat, ist doch einfach nur
[mm] sin^2{x}=1-cos^2{x}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mi 21.12.2011 | | Autor: | mbau16 |
So, der Einwand hat mich überzeugt!
$ [mm] cos(2x)+3cos^2(x)=0 [/mm] $
$ [mm] cos^2(x)-sin^2(x)+3cos^2(x)=0 [/mm] $
$ [mm] 4cos^2(x)-sin^2(x)=0 [/mm] $
$ [mm] 4cos^2(x)-1-cos^2(x)=0 [/mm] $
$ [mm] 3cos^2(x)-1=0 [/mm] $
$ [mm] 3cos^2(x)=1 [/mm] $
$ [mm] cos^2(x)=\bruch{1}{3} [/mm] $
$ [mm] cos(x)=\pm\wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] $
Ist es denn jetzt korrekt?
Danke
Gruß
mbau16
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Hallo,
> Ist es denn jetzt korrekt?
nein, noch nicht. Es ist
[mm] 4cos^2{x}-sin^2{x}=0 \gdw 4cos^2{x}-(1-cos^2{x})=0
[/mm]
d.h., dir ist noch ein fast klassischer Vorzeichenfehler unterlaufen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mi 21.12.2011 | | Autor: | mbau16 |
Vielen Dank, für die Hilfe!
$ [mm] cos(2x)+3cos^2(x)=0 [/mm] $
$ [mm] cos^2(x)-sin^2(x)+3cos^2(x)=0 [/mm] $
$ [mm] 4cos^2(x)-sin^2(x)=0 [/mm] $
$ [mm] 4cos^2(x)-(1-cos^2(x))=0 [/mm] $
[mm] 4cos^2(x)-1+cos^2(x)=0
[/mm]
$ [mm] 5cos^2(x)-1=0 [/mm] $
$ [mm] 5cos^2(x)=1 [/mm] $
$ [mm] cos^2(x)=\bruch{1}{5} [/mm] $
$ [mm] cos(x)=\pm\wurzel{\bruch{1}{5}} [/mm] $
Wenn diese Lösung korrekt ist, muss ich diese doch so erweitern, dass ich auf einen der klassischen Tabellenwerte komme, wie z.b [mm] x_{1}=\pi+2\pi*k
[/mm]
Wie mache ich das am besten?
Gruß
mbau16
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Hallo,
nun ja: als klassischen Tabellenwert würde ich die Wurzel aus 1/5 nicht gerade bezeichnen.
Einen Wert liefert dir die Arkuskosinusfunktion deines TR:
[mm] arccos\left(\wurzel{\bruch{1}{5}}\right)\approx63,43^{\circ}
[/mm]
(falls du im Bogenmaß rechnest, musst du entsprechend umrechnen).
Bis auf die Werte -1 und 1 nimmt die Kosinusfunktion jedoch jeden Wert in ihrer Primitivperiode zweimal an. Es muss also noch eine weitere Lösung innerhalb von [mm] [0;2\pi] [/mm] geben. Außerdem muss es für die negative Wurzelebenfalls zwei Lösungen geben. Beachte die Symmetrieeigendschaften von Sinus- und Kosinusfunktion: die Schaubilder sind:
- achsensymmetrisch zu ihren Extrempunkten
- punktsymmetrisch zu ihren Wendepunkten
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mi 21.12.2011 | | Autor: | mbau16 |
Danke für die ausführliche Antwort!
Das diese Aufgabe 4 Lösungen haben muss, ist mir somit klar. Allerdings habe ich zu der Aufgabe eine Formelsammlung, die mir die Cos Werte in Winkeln dargestellt. Es darf in der Klausur kein TR benutzt werden. Also muss ich diesen Bruch so umrechnen, dass er mir ein Winkel aus der Tabelle gibt.
[mm] \pi [/mm] ist [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{4}
[/mm]
[mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] ist [mm] \bruch {1}{2}\wurzel{3}
[/mm]
usw.
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Hallo,
> Das diese Aufgabe 4 Lösungen haben muss, ist mir somit
> klar. Allerdings habe ich zu der Aufgabe eine
> Formelsammlung, die mir die Cos Werte in Winkeln
> dargestellt. Es darf in der Klausur kein TR benutzt werden.
> Also muss ich diesen Bruch so umrechnen, dass er mir ein
> Winkel aus der Tabelle gibt.
dann muss im Zweifelsfall in der Klausur die Aufgabe anders lauten, nämlich so, dass sich die Lösungen durch diese Werte darstellen lassen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Mi 21.12.2011 | | Autor: | mbau16 |
Gut, danke nochmals
Gruß
mbau16
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