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| Aufgabe | Man beweise, dass_
[mm]cos x - cos y[/mm] = [mm] -2sin\bruch{x+y}{2} sin\bruch{x-y}{2} [/mm] |
Juten Abend!
Also, ich soll diese trigonometrische Identität mit Hilfe der Additionstheoreme beweisen. Ich hab versucht die rechte Seite mit:
[mm]sin (x+y) = cos x sin y + sin x cos y[/mm]
bekomme da aber nur Grütze raus. Ist wenigstens der Ansatz richtig?
Vielen Dank schonmal.
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> Man beweise, dass_
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> [mm]cos x - cos [mm]y[/mm][/mm] = [mm]-2sin\bruch{x+y}{2} sin\bruch{x-y}{2}[/mm]
Juten Abend!
Also, ich soll diese trigonometrische Identität mit Hilfe der Additionstheoreme beweisen. Ich hab versucht die rechte Seite mit:
[mm]sin (x+y) = cos x sin y + sin x cos y[/mm]
bekomme da aber nur Grütze raus. Ist wenigstens der Ansatz richtig?
Hallo,
oben genannte Beziehung zunächst zu verwenden kommt mir jedenfalls schonmal nicht ganz absurd vor. Wie sieht denn Deine Grütze aus?
Wenn man die sieht, kann man gucken, ob man was Gescheites draus machen kann.
Gruß v. Angela
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Das sieht dann so aus:
[mm]-2sin\bruch{x+y}{2} sin\bruch{x-y}{2}[/mm]
= [mm] -2(cos\bruch{x}{2}sin\bruch{y}{2} [/mm] + [mm] sin\bruch{x}{2}cos\bruch{y}{2})(cos\bruch{x}{2}sin\bruch{-y}{2} [/mm] + [mm] sin\bruch{x}{2}cos\bruch{-y}{2})
[/mm]
Wenn ich das ausmultipliziere ist das meiner Meinung nach nicht sehr hilfreich...
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> Das sieht dann so aus:
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> [mm]-2sin\bruch{x+y}{2} sin\bruch{x-y}{2}[/mm]
>
> = [mm]-2(cos\bruch{x}{2}sin\bruch{y}{2}[/mm] +
> [mm]sin\bruch{x}{2}cos\bruch{y}{2})(cos\bruch{x}{2}sin\bruch{-y}{2}[/mm]
> + [mm]sin\bruch{x}{2}cos\bruch{-y}{2})[/mm]
>
> Wenn ich das ausmultipliziere ist das meiner Meinung nach
> nicht sehr hilfreich...
Versprechen, daß es zum Ziel führt, kann ich Dir natürlich nicht - aber ICH würde es nun ausmultiplizieren.
Beachten solltest Du auch noch die Symmetrie der trig. Funktionen: sina=-sin(-a), cos(a)=-cosa.
Möglicherweise kannst du nach dem Ausmultiplizieren die Beziehung [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] verwenden. Probier's!
Trial and error gehören dazu beim Lösen von Aufgaben.
Gruß v. Angela
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Hallo, ich nochmal!
Also, das war schon mal ne gute Idee, das Ganze auszuprobieren :)
Jetzt komm ich leider nicht weiter. Das hab ich bis jetzt:
[mm]-2sin\bruch{x+y}{2} sin\bruch{x-y}{2}[/mm]
[mm] =-2((cos\bruch{x}{2}sin\bruch{y}{2}+sin\bruch{x}{2}cos\bruch{y}{2})(cos\bruch{x}{2}sin\bruch{-y}{2}+sin\bruch{x}{2}cos\bruch{-y}{2}))
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] unter Berücksichtigung der Symmetrie von sin u. cos
[mm] -2(cos^2\bruch{x}{2}(-1)sin^2\bruch{y}{2}+cos\bruch{x}{2}sin\bruch{y}{2}sin\bruch{x}{2}cos\bruch{y}{2}+cos\bruch{x}{2}(-1)sin\bruch{y}{2}sin\bruch{x}{2}cos\bruch{y}{2}+cos^2\bruch{y}{2}sin^2\bruch{x}{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] da die beiden mittleren Summanden wegfallen
[mm] -2(sin^2\bruch{x}{2}cos^2\bruch{y}{2} [/mm] - [mm] cos^2\bruch{x}{2}sin^2\bruch{y}{2})
[/mm]
Soweit bin ich jetzt...aber jetzt weiß ich echt nicht weiter.
Ist das soweit richtig? Hat jemand eine weiterführende Idee für mich?
Lg, Tim
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> Hallo, ich nochmal!
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> Also, das war schon mal ne gute Idee, das Ganze
> auszuprobieren :)
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> Jetzt komm ich leider nicht weiter. Das hab ich bis jetzt:
>
>
> [mm]-2sin\bruch{x+y}{2} sin\bruch{x-y}{2}[/mm]
>
> [mm]=-2(cos\bruch{x}{2}sin\bruch{y}{2}+sin\bruch{x}{2}cos\bruch{y}{2})(cos\bruch{x}{2}sin\bruch{-y}{2}sin\bruch{x}{2}cos\bruch{-y}{2})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] unter Berücksichtigung der Symmetrie von sin u. cos
>
> [mm]-2(cos^2\bruch{x}{2}(-1)sin^2\bruch{y}{2}+cos\bruch{x}{2}sin\bruch{y}{2}sin\bruch{x}{2}cos\bruch{y}{2}+cos\bruch{x}{2}(-1)sin\bruch{y}{2}sin\bruch{x}{2}cos\bruch{y}{2}+cos^2\bruch{y}{2}sin^2\bruch{x}{2})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] da die beiden mittleren Summanden wegfallen
>
> [mm]-2(sin^2\bruch{x}{2}cos^2\bruch{y}{2}[/mm] -
> [mm]cos^2\bruch{x}{2}sin^2\bruch{y}{2})[/mm]
>
>
Hier angekommen könntest Du jetzt mal [mm] cos^2\bruch{y}{2} [/mm] ersetzen durch [mm] 1-sin^2\bruch{y}{2}. [/mm] Danach kannst Du ausklammern, und dann mußt Du sehr zielstrebig vorgehen.
Lt. Formelsammlung ist ja cos2a=cos^2a-sin^2a.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 02.09.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
es geht schneller, wenn du (x+y)/2 = a und (x-y)/2 = b setzt und das Additionstheorem für den cos auf die linke Seite der Gleichung anwendest.
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