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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Sa 26.04.2008 | | Autor: | fkerber |
| Aufgabe | | Schreiben Sei cos²(x) und cos³(x) als trigonometrische Polynome! |
Hi!
Ich hab folgenden Ansatz, weiß aber nicht, ob der richtig ist:
Ich muss doch nur die [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] berechnen, oder?
Also [mm] b_k [/mm] = 0 für alle k, da cos²(x)*sin(x) eine ungerade Funnktion ist?!
[mm]
a_k = \bruch{1}{\pi} * \integral_{0}^{\pi}{cos²(x) * cos(kx) dx} = \bruch{1}{2} cos(kx)
[/mm]
Damit hätte ich insgesamt
[mm]
f(x) = \bruch{1}{2} + \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{2}* cos²(kx))
[/mm]
Stimmt das so?
Ciao, fkerber
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Hallo fkerber,
> Schreiben Sei cos²(x) und cos³(x) als trigonometrische
> Polynome!
> Hi!
>
> Ich hab folgenden Ansatz, weiß aber nicht, ob der richtig
> ist:
> Ich muss doch nur die [mm]a_k[/mm] und [mm]b_k[/mm] berechnen, oder?
>
> Also [mm]b_k[/mm] = 0 für alle k, da cos²(x)*sin(x) eine ungerade
> Funnktion ist?!
>
> [mm]
a_k = \bruch{1}{\pi} * \integral_{0}^{\pi}{cos²(x) * cos(kx) dx} = \bruch{1}{2} cos(kx)
[/mm]
>
> Damit hätte ich insgesamt
>
> [mm]
f(x) = \bruch{1}{2} + \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{2}* cos²(kx))
[/mm]
>
> Stimmt das so?
Leider nicht.
Gemeint war wahrscheinlich, daß Du die trigonmetrischen Polynome mit Hilfe der Additionstheoreme bestimmst.
>
>
> Ciao, fkerber
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Sa 26.04.2008 | | Autor: | fkerber |
Hi!
Hmm, das glaube ich allerdings nicht....
Das würde überhaupt nicht zum Thema passen, das im Moment Fourierreihe etc. ist...
Aufgabenteil b) bezieht sich auch explizit darauf:
Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten der durch f(x) = x für [mm] [-\pi, \pi) [/mm] gegebenen [mm] 2\pi-periodischen [/mm] Funktion.
Das mit den Additionstheoremen ist schon gute 3-4 Monate her...
das kann ich mir irgendwie nicht vorstellen!
Ist auch die Rechnung von oben falsch, oder dachtest du jetzt nur, es wäre falsch, weil es an der Aufgabenstellung vorbeiginge?
Ciao, fkerber
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Hallo fkerber,
> Hi!
>
> Hmm, das glaube ich allerdings nicht....
> Das würde überhaupt nicht zum Thema passen, das im Moment
> Fourierreihe etc. ist...
>
> Aufgabenteil b) bezieht sich auch explizit darauf:
> Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten der durch f(x) = x
> für [mm][-\pi, \pi)[/mm] gegebenen [mm]2\pi-periodischen[/mm] Funktion.
>
> Das mit den Additionstheoremen ist schon gute 3-4 Monate
> her...
> das kann ich mir irgendwie nicht vorstellen!
>
> Ist auch die Rechnung von oben falsch, oder dachtest du
> jetzt nur, es wäre falsch, weil es an der Aufgabenstellung
> vorbeiginge?
Nein, das ist unabhängig von der Aufgabenstellung.
Ich hab das mal nachgerechnet.
[mm]\integral_{}^{}{\cos^{2}\left(x\right))*\cos\left(kx\right) \ dx}=\bruch{1}{4}*\integral_{}^{}{2*\cos\left(kx\right)+\cos\left(\left(k-2\right)*x\right) +\cos\left(\left(k+2\right)*x\right)\ dx}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2k}*\sin\left(k*x\right)+\bruch{1}{4*\left(k-2\right)}*\sin\left(\left(k-2\right)*x\right)+\bruch{1}{4*\left(k+2\right)}*\sin\left(\left(k+2\right)*x\right), \ k \not= 2[/mm]
Wenn Du jetzt die Grenzen 0 und [mm]\pi[/mm] einsetzt, dann ergibt das immer 0.
>
> Ciao, fkerber
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 So 27.04.2008 | | Autor: | fkerber |
Hi!
Sorry, ich kann dir leider gar nicht folgen...
Also das, was ich bisher gemacht habe ist falsch?
Wie geht es denn richtig?
Nach unsere Definition eines trigonometrischen Polynoms ist das halt ein Ausdruck der Form [mm]\bruch{a_0}{2} + \summe_{k=1}^{n}((a_k *cos(kx) + b_k*sin(kx))[/mm]
Ciao, fkerber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 So 27.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo fkerber,
wenn das eure Definition ist, dann bedeutet dies, dass die Fourierkoeffzienten beechnet werden sollen. Das geht entweder über die von Dir eingeschlagene Methode oder über den Tipp von Mathepower. Die Additionstheoreme helfen Dir hier aber nicht weiter, sondern die Darstellung trigonometrischer Potenzen durch Ausdrücke, die Vielfache der Grundschwingungen enthalten. Was machst Du denn bei der Fourierreihendarstellung? Du stellst eine periodische Funktion mit Hilfe von Sinus- und Cosinuskomponenten dar. Wenn die Funktion, die Du so darstellen sollst, bereits aus Sinus- oder Cosinuskomponenten besteht, sind logischerweise deren Koeffizienten die Koeffizienten der Fourierreihe. In diesem Sinne:
$$ [mm] \cos^2 [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \cos [/mm] (2x) [mm] \,$$
[/mm]
Was sind wohl die Fourierreihenkoeffizienten dieser Funktion?
Bei Aufgabe b hast Du keine trigonometrische Funktion gegeben, sondern eine periodisch sich wiederholende Gerade bzw. einen entsperchenden Geradenabschnitt. Hier musst Du dann rechnen, wie von Dir vorgeschlagen.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 27.04.2008 | | Autor: | fkerber |
Hi!
Vielen Dank für deine Hilfe, aber ;)
a) Wie kommst du hierauf?
$ [mm] \cos^2 [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \cos [/mm] (2x) [mm] \, [/mm] $
und wie sieht das bei cos³(x) aus?
b) Kann ich daraus folgendes "ableiten":
[mm] a_0 [/mm] = 1
[mm] b_k [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] k
so, damit wäre ja der erste teil, also mein [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm] abgedeckt und ich müsste jetzt noch $ [mm] \bruch{1}{2} \cos [/mm] (2x) [mm] \, [/mm] $ durch [mm] $\summe_{k=1}^{n} b_k*cos(kx) [/mm] $ darstellen?
Stimmt das soweit?
Nur, wie mache ich das?
Sry, falls ich mich blöd anstelle, aber ich steh da etwas auf dem Schlauch...
Ciao, fkerber
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 27.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, die Überlegungen sind okay.
Der Zusammenhang zwischen dem potenzierten Cosinus und der Darstellung auf der rechten Seite ergibt sich einfach durch die Potenzgesetze für trigonometrische Funktionen. Entsprechend kann man das Ergebnis auf der rechten Seite nochmal mit dem Cosinus multiplizieren und bekommt damit das Ergebnis für die dritte Potenz.
$$ [mm] \cos^3 [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ( 3 [mm] \cos [/mm] (x) + [mm] \cos [/mm] (3x)) [mm] \, [/mm] $$
Die Überlegung für [mm] a_0 [/mm] ist richtig und Deine weitere Überlegung ist auch okay. Um Dir vom Schlauch runterzuhelfen, vergleiche doch einfach mal den Ausdruck [mm] \bruch{1}{2} \cos (2x) [/mm] mit dem Term [mm] a_k \cos( kx) [/mm] aus der Fourierreihenentwicklung, da müsste es Dir sofort auffallen, welchen Wert wohl [mm] a_k [/mm] für k=2 annimmt. By the way, Du meintest in Deiner Antwort sicher nicht den Ausdruck $ [mm] \summe_{k=1}^{n} b_k\cdot{}cos(kx) [/mm] $, sondern $ [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k\cdot{}cos(kx) [/mm] $. Die a's gehören zu den Cosinustermen, die b's zu den Sinustermen, von denen wissen wir aber schon, dass sie Null sind.
Ich hoffe, der Schlauch ist jetzt nicht mehr im Weg  .
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 So 27.04.2008 | | Autor: | fkerber |
Danke!
Das mit den [mm] b_k [/mm] war ein schreibfehler, sry.
Also kann ich dann sagen [mm] a_0 [/mm] = 1, [mm] a_1 [/mm] = 0, [mm] a_2=\bruch{1}{2} [/mm] und alle weiteren [mm] a_k [/mm] = 0?
Ciao, fkerber
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 So 27.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo fkerber,
genau so ist es. Der Grund dafür ist die Orthogonalität zwischen Sinus- und Cosinusfunktion, man kann keine Sinusgrundschwingung durch eine Cosinus ausdrücken und die Koeffizienten sind damit eindeutig. Das ist ja gerade auch der große Vorteil bei Näherungsverfahren. Man kann einen Koeffizienten wegfallen lassen und weiss, dass sich dadurch die anderen Koeffizienten nicht ändern.
Viele Grüße,
Infinit
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