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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 So 18.03.2007 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | Die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge eines Menschen kann durch die Funktion f mit [mm] f(t)=\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] sin(\bruch{2}{5}*\pi*t) [/mm] modelliert werde. (f(t) in Litern pro Sekunde; Zeit t in Sekunden).
Bei t=0 befindet sich keine Luft in der Lunge.
....
Zeigen Sie, dass [mm] F(t)=\bruch{5}{4*\pi} [/mm] * [1 - [mm] cos(\bruch{2*\pi}{5}*t)]
[/mm]
Bestimmen Sie das maximale und das minimale Luftvolumen in der Lunge.
Bestimmen sie die Zeitpunkte, zu denen die Lunge jeweils die Hälfte des maximalen Luftvolumens enthält. |
Huhu also ich habe hier 3 riesen Probleme, über die ich zwar schon den ganzen Tag grübel; jedoch einfach nicht den Fehler finde.
Es fängt leider bereits bei der Aufleitung an;
wenn ich mit linearer Substitution arbeite, komme ich einfach nicht auf
[mm] F(t)=\bruch{5}{4*\pi} [/mm] * [1 - [mm] cos(\bruch{2*\pi}{5}*t]
[/mm]
sondern nur auf
[mm] F(t)=\bruch{5}{4*\pi} [/mm] * [- [mm] cos(\bruch{2*\pi}{5}*t].
[/mm]
Wenn ich nun in Anbetracht ziehe, dass es eine Anwendungsaufgabe ist, wäre es ja logisch, dass die Funktion um 1 nach oben verschoben wird, damit nie "ein negatives Volumen" in der Lunge sein kann. Ich kann es jedoch keineswegs rechnerisch erklären.
Liegt es am Ende nur daran, dass es um die Syntax der Aufgabe zu bewahren, eingefügt wurde? Also das 1- ....
Nunja das wäre mein erstes Problem.... dann geht es weiter bei Minima und Maxima;
Ich habe als X- Werte raus:
x1= 5*k und x2= 5*(k+0,5); k=Intervall
Wenn ich diese Werte, die ich durch die Gleichungen erhalte, einsetze, stimmen sie eindeutig mit den Maxima und Minima der Zeichnung ein. Mein Problem ist jedoch das rechnerische beweisen mit der 2. Ableitung.
Dann nun erstmal meine beiden Ableitungen; beide einfach mit der Kettenregel gemacht:
[mm] f'(t)=\bruch{\pi}{5}*cos(\bruch{2}{5}*\pi*x)
[/mm]
das dann nochmals abgeleitet ergibt:
[mm] f''(t)=-\bruch{2*\pi²}{25}*sin(\bruch{2}{5}*\pi*x)
[/mm]
Dann setze ich nun Werte ein;
2,5 ergibt nach Graph ein Maximum; da breche ich nun hier ab; habe meinen Fehler gefunden... Muss ja nur in f'(t) und nicht in f''(t) einsetzen; ein Problem weniger :D
Ok, wenn ich nun mein Minimum und Maximum habe, kann ich ja einfach Werte einsetzen:
f'(2,5) < 0 => Maximum bei (2,5 | F(2,5))
F(2,5)=7,853. Also ist 7,853 das Maximum der Funktion. Wenn ich nun die Zeitpunkte, bei denen jeweils nur noch die Hälfte des Maximums vorhanden ist, rausfinden soll, kann ich doch meiner Meinung nach einfach
[mm] F(t)=\bruch{7,853}{2} [/mm] rechnen.
Und hier scheine ich irgendwo einen Fehler in der Rechnung nicht zu finden:
[mm] \bruch{5}{4*\pi} [/mm] * [1 - [mm] cos(\bruch{2*\pi}{5}*t] [/mm] = [mm] \bruch{7,853}{2}
[/mm]
geteilt durch [mm] \bruch{5}{4*\pi}
[/mm]
1 - [mm] cos(\bruch{2*\pi}{5}*t) [/mm] = 1
(hat mich übrigens überrascht, dass obwohl ich mit Rundungswerten gearbeitet habe, eine glatte 1 rausgekommen ist aber naja)
nun noch -1 und geteilt durch -1; anschließend die Substitution [mm] z=\bruch{2*\pi}{5}*t
[/mm]
dann steht da noch:
cos(z) = 0 ; also nun arccos, das ergibt dann
z1= 1 + k * [mm] 2*\pi [/mm] und [mm] z2=2*\pi [/mm] - 1 + k * 2 * [mm] \pi
[/mm]
nun die Resubstitution x = [mm] \bruch{z}{\bruch{2*\pi}{5}}
[/mm]
dann bekomme ich also am Ende
x1 = [mm] \bruch{1 + k*2 *\pi}{\bruch{2*\pi}{5}}
[/mm]
und
x2 = [mm] \bruch{2 *\pi - 1 + k*2*\pi}{\bruch{2*\pi}{5}}
[/mm]
raus.
Durch Ausprobieren habe ich bereits rausgefunden, dass x1 scheinbar korrekt
x1 = [mm] \bruch{2 + k*2 *\pi}{\bruch{2*\pi}{5}} [/mm] sein müsste;
jedoch weiß ich nicht, wo ich irgendwo eine 1 auf der Strecke gelassen habe.
Würde mich sehr darüber freuen, wenn jemand meinen Fehler /meine Dummheit aufzeigen könnte, damit ich endlich mit dieser Aufgabe abschließen kann und auch noch andere Aufgaben für meine anstehende Klausur durchrechnen kann.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetportal oder Forum gestellt.
Mit freundlichsten Grüßen
Maggons
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 18.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu der fehlenden 1:
du musst doch von 0 bis t integrieren um die Luft in der Lunge rauszukriegen!, und die unter Grenze 0 in die allgemeine Stammfkt eingesetzt ergibt die 1.
(die allg. Stammfkt ist uebrigens immer noch mit ner Konstanten zu sehen, also dein F(t)+C, dann C so bestimmen, dass wie in der Aufgabe F(0)=0, das waer der andere Weg)
Da man die max und min von -cosax kennt, muss man nicht mal differenzieren um die von 1-cosax) zu finden, das sind dieselben.(wenn man ne fkt nach oben oder unten verschiebt, bleiben die max und min natuerlich dieselben!
Aber du hast ja nicht F(t), das die Luftmenge angibt differenziert, sondern f(t) die Aenderungsrate! F'(t)=f(t)
also suchst du die Nst von f(t), nicht die von f'(t) das waeren die Wendepkt von F!
Damit ist der Rest deiner fragen wohl erledigt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 So 18.03.2007 | | Autor: | Maggons |
nunja leider nicht ganz;
wenn du dir meine letzte Rechnung anschaust:
[mm] F(t)=\bruch{7,853}{2}. [/mm]
Deine begründung mit der Integration ist meiner Meinung nach nicht richtig, weil das doch nichts mit Integration zu tun hat.
wenn ich [mm] F(t)=\bruch{7,853}{2} [/mm] setze, muss doch auch, wenn ich das errechnete Ergebnis t in F(t) einsetze, die [mm] \bruch{7,853}{2} [/mm] wieder raus kommen ..... ?
und das ist ja eben nicht der fall....
das die x-werte der hoch/tiefpunkte der nach oben bzw unten verschobenen funktion gleich bleiben ist mir auch völlig klar; beantwortet so gesehen aber tortzdem nicht meine frage.
das mit der additiven Konstante ist mir nun auch klar; habe das irgendwie zu engstirnig gesehen, dass die hinten dran sein müsste aber das +1 einfach nach vorne verschoben macht die Sache recht klar.
Nur es muss einfach noch ein Fehler in der oben von mir geposteten Rechnung sein; weil auch wohlgemerkt F(0)=0 und nicht wie von dir gesagt =1.
aber dennoch vielen dank für deine hilfe :)
könnte jedoch vielleicht noch jemand einen blick auf meine rechnung da unten werfen? am unsichersten bin ich ja bei der Resubstitution, wie ich die konstanten K anknüpfen muss :(
Mit freundlichten Grüßen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mo 19.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> nunja leider nicht ganz;
>
> wenn du dir meine letzte Rechnung anschaust:
>
> [mm]F(t)=\bruch{7,853}{2}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist falsch!
F(t)=\bruch{5*\pi}{4}(1-cos...)
das max ist erreicht fuer cos..= -1 t=2,5
also F(t_{max}=\bruch{5*\pi}{4}*2=\bruch{5*\pi}{2}=0,796
halb so gross ist es, wenn die klammer 1 ist, also fuer cos(\bruch{2*\pi}{5}*t=0 oder 2*\pi}{5}*t=0,5\pi, t=5/4
> Deine begründung mit der Integration ist meiner Meinung
> nach nicht richtig, weil das doch nichts mit Integration zu
> tun hat.
>
> wenn ich [mm]F(t)=\bruch{7,853}{2}[/mm] setze, muss doch auch, wenn
> ich das errechnete Ergebnis t in F(t) einsetze, die
> [mm]\bruch{7,853}{2}[/mm] wieder raus kommen ..... ?
>
> und das ist ja eben nicht der fall....
>
> das die x-werte der hoch/tiefpunkte der nach oben bzw unten
> verschobenen funktion gleich bleiben ist mir auch völlig
> klar; beantwortet so gesehen aber tortzdem nicht meine
> frage.
>
> das mit der additiven Konstante ist mir nun auch klar; habe
> das irgendwie zu engstirnig gesehen, dass die hinten dran
> sein müsste aber das +1 einfach nach vorne verschoben macht
> die Sache recht klar.
>
> Nur es muss einfach noch ein Fehler in der oben von mir
> geposteten Rechnung sein; weil auch wohlgemerkt F(0)=0 und
> nicht wie von dir gesagt =1.
Ich hatte gesagt F(0)-0 sicher nicht 1!
> aber dennoch vielen dank für deine hilfe :)
>
Das mit Subst. und resubst. versteh ich nicht ganz, fuer welches argument der cos =-1 oder 0 ist, dazu muss man doch nur wissen, das argument muss [mm] \pi [/mm] bzw. [mm] \pi/2 [/mm] sein!
Gruss leduart
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:07 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Maggons |
ohwei da war ich ja ganz schön schusselig; habe wohl irgendwie was falsches in den taschenrechner eingetippt und bin daher auf falsche ergebnisse gekommen...
nunja also war es bei der rechnung nur ein dummer tippfehler meinerseits, da man mit [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] statt 1 rechnen musste .
bei dieser 1-cos sache ist mir nun auch klar geworden, wie du es meintest.
die additive konstante ist in diesem fall [mm] \bruch{5}{4*\pi}. [/mm] und die wurde dann anschließend ausgeklammert, so dass sie auch so einen komischen platz einnehmen kann....
also alle probleme beseitigt; vielen dank fürs helfen, leduart, hast mir echt geholfen.
also nochmals danke und ciao
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