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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mi 14.09.2005 | | Autor: | svenchen |
Hallo, habe eine Problem:
Eine Urne ist gefüllt mit 2 schwarzen und 3 weißen Kugeln. Auf einen Griff werden 2 Kugeln entnommen. Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der schwarzen Kugeln.
a) Zeigen Sie dass p(k = 1 ) = 0,6.
b) Bestimmen Sie mit Tschebyschef eine untere Schranke der Wahrscheilichkeit, dass die relative Häufigkeit des Ereignisses "eine Schwarze Kugel, eine nicht schwarze" nach 200 Versuchen um weniger als 0,05 vond er Wahrscheinlichkeit aus a) abweicht.
Bitte zeigt mir wie deie Rechnung geht und erklärt mir, was ich überhaupt berechne. Bin sehr sehr dankbar und morgen Klausur.
danke!!!!!!!!
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Hi, Sven,
morgen Klausur und doch kein eigener Einstieg? Voll der riskante Typ!
Also:
a) löst Du mit Baumdiagramm (Ziehen ohne Z.).
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(k=1) ist dann identisch mit:
[mm] P(\{sw; ws\}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{5}*\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{5}*\bruch{2}{4} [/mm] = 0,6.
b) Tschebyschow-Ungleichung für Binomialverteilung
mit p = 0,6; n=200:
[mm] P(|\bruch{k}{n} [/mm] - p| < 0,05) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{0,6*0,4}{200*(0,05)^{2}}
[/mm]
= 1 - 0,48 = 0,52 (=52%)
(Nachrechnen!! Keine Garantie für Rechenfehler!)
> Bitte zeigt mir wie deie Rechnung geht
Siehe oben!
> und erklärt mir, was ich überhaupt berechne.
Das lässt sich besser erläutern, wenn man an Stelle der relativen Häufigkeit [mm] \bruch{k}{n} [/mm] die absolute Häufigkeit verwendet. Dann muss man die Ungleichung
[mm] |\bruch{k}{n} [/mm] - p| < 0,05
wobei ja n = 200 und p = 0,6, k = "tatsächlich erzielte Trefferzahl"
also: [mm] |\bruch{k}{200} [/mm] - 0,6| < 0,05
mit 200 durchmultipliziert, wobei man erhält:
|k - 0,6*200| < 0,05*200
oder
|k - 120| < 10
Du hast sicher bemerkt, dass die 120 im Betrag nichts anderes ist als der Erwartungswert!?
Somit berechnest Du oben, mit welcher Mindest-Wahrscheinlichkeit P die tatsächlich erzielte Trefferzahl bei 200 Versuchen um weniger als 10 vom Erwartungswert abweicht.
Oder "anders rum": Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 52% wird die Trefferzahl zwischen 111 und 129 liegen.
Noch etwas: Mit der Tschebyschow-Ungl. wird die gesuchte Wahrscheinlichkeit nur "abgeschätzt"! Diese Ungleichung ist SEHR UNGENAU! Daher nimm die Aussage "mindestens 52%" nicht allzu ernst:
Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit liegt wohl eher bei rund 80%
(was natürlich kein Widerspruch zu unserer Rechnung ist, denn 80% ist ja mehr als 52%).
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 14.09.2005 | | Autor: | svenchen |
hallo, danke für die schnelle und vor allem ausführliche antwort.
aber so ganz versteh ich das noch nicht:
wieso gilt P(| [mm] \bruch{k}{n} [/mm] - p < 0,05 >= 1- [mm] \bruch{0,6*0,4}{200*0,5^2}..
[/mm]
Es heisst doch immer P(|X - erwartungswert| < c ) > 1 - [mm] \bruch{o^2}{c^2}.
[/mm]
wie kommt man da auf deine ungleichung?
danke !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo svenchen!
> wieso gilt P(| [mm]\bruch{k}{n}[/mm] - p < 0,05 >= 1-
> [mm]\bruch{0,6*0,4}{200*0,5^2}..[/mm]
Zwerglein hat sich hier verschrieben. Es muss
[mm] $P(|\bruch{k}{n} [/mm] - p| < 0.05 ) [mm] \ge [/mm] 1- [mm] \bruch{0.6*0.4}{200*0.\red{0}5^2}$
[/mm]
lauten.
Man kommt so darauf:
Aus $P(X [mm] -\underbrace{200p}_{E[X]}) [/mm] < 10) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{\overbrace{200 \cdot 0.6 \cdot 0,4}^{Var[X]}}{100}$ [/mm] erhält man, wenn man in der Klammer durch $n=200$ teilt:
[mm] $P(\frac{X}{200} [/mm] - p) < 0.05) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{0.6 \cdot 0.4}{0.5}$.
[/mm]
Naja, und $0.5=200 [mm] \cdot 0.05^2$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mi 14.09.2005 | | Autor: | svenchen |
na, stefan ;)
danke an euch beide. habe jetzt alles verstanden !
btw: ist dieser aufgabentyp eingentlich "standart" ??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Sa 17.09.2005 | | Autor: | svenchen |
Hallo, hab eine kleine Frage dazu noch:
Was genau ist eine untere Schranke? Gibt es auch eine obere Schranke? Wie sähe das dann bei dieser Aufgabe aus???
Danke, sven
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Hi, Sven,
> Was genau ist eine untere Schranke?
Naja: In diesem Fall halt die "Mindestwahrscheinlichkeit"; ein Wert der auf jeden Fall erreicht, meist aber - oft sogar deutlich - überschritten wird.
> Gibt es auch eine obere
> Schranke? Wie sähe das dann bei dieser Aufgabe aus???
Schranken muss es nicht immer geben!
Manchmal sind sie auch "trivial".
Bei Deiner Aufgabe ist die obere Schranke 100%. Diese Aussage nützt Dir also nix!
Aber man könnte die Aufgabenstellung so umkehren, dass "sinnvoll" nach einer oberen Schranke gefragt wird, z.B.:
Bestimme eine obere Schranke dafür, dass die rel. Häufigkeit ... um mindestens 0,05 von der Wahrscheinlichkeit 0,6 abweicht.
Lösung: [mm] P(|\bruch{k}{n}-0,6| \ge [/mm] 0,05| [mm] \le \bruch{0,6*0,4}{200*(0,05)^{2}} [/mm] = 0,48.
Dann wäre die obere Schranke (in diesem Fall wegen der Berechnungsmethode "Tschebyschow-Risiko" genannt) 48%.
Mehr kann auch "in Wirklichkeit" nicht rauskommen; eher weniger.
Die Tschebyschow-Ungleichung hat natürlich erst dann ihre Bedeutung, wenn man die Trefferwahrscheinlichkeit nicht kennt, allenfalls abschätzen kann. Wenn man dann auf Grund statistischer Erhebungen auch noch die Varianz abschätzt, ist es möglich, z.B. eine Obergrenze für Produktion von Ausschuss eines bestimmten Massenartikels anzugeben.
(Für den Produzenten natürlich sehr wichtig:
"Ich garantiere für höchstens 5% Ausschuss in diesem Karton mit 1000 Schrauben." etc.)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Sa 17.09.2005 | | Autor: | svenchen |
vielen dank, hab ich gut verstanden.
jedoch das gesammte gebiet nicht so genau. komme mit einer weiteren aufgabe wieder nicht weiter:
Bei einer Umfrage in einer Gemeinde, in der es um die Einführung eines Projektes geht, wurden 1200 Bürger befragt. Dabei sprachen sich 504 gegen das Projekt aus, während die übrigen 696 sich für das Projekt aussprachen.
Bestimmen Sie mit der Ungleichung von Tschebyschow ein möglichst kleines Intervall, in dem der Anteil p der Projektgegner unter allen Gemeindemitgliedern mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 75% liegt. Verwenden Sie p(1 - p) [mm] \le \bruch{1}{4}.
[/mm]
Ich habe überlegt:
P(dagegen) = 504/1200 = 0,42
P(dafür) = 696/1200 = 0,58
[mm] \Rightarrow [/mm] Varrianz [mm] o^2 [/mm] = n * p * q = 1200 * 0,42 * 0,58 = 292,32
ERwartungswert u = n*p = 1200 * 0,42 = 504.
P(|X - u| [mm] \ge [/mm] c) [mm] \le o^2/c^2
[/mm]
c = [mm] o^2, [/mm] damit [mm] o^2/c^2 [/mm] = 1/4
P(|X - 504| [mm] \ge [/mm] 292,32) [mm] \le [/mm] 1/4
also liegen zwischen 211 und 796 Menschen mit wenigstens 75 dagegen ???????
Nur da stimmt noch was nicht. es müssten 484 - 524 Menschen rauskommen. Was hab ich falsch gemacht?
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Hi, Sven,
> Bei einer Umfrage in einer Gemeinde, in der es um die
> Einführung eines Projektes geht, wurden 1200 Bürger
> befragt. Dabei sprachen sich 504 gegen das Projekt aus,
> während die übrigen 696 sich für das Projekt aussprachen.
>
> Bestimmen Sie mit der Ungleichung von Tschebyschow ein
> möglichst kleines Intervall, in dem der Anteil p der
> Projektgegner unter allen Gemeindemitgliedern mit einer
> Wahrscheinlichkeit von wenigstens 75% liegt. Verwenden Sie
> p(1 - p) [mm]\le \bruch{1}{4}.[/mm]
>
> Ich habe überlegt:
>
> P(dagegen) = 504/1200 = 0,42
> P(dafür) = 696/1200 = 0,58
Da es nur um die ProjektGEGNER geht, ist p=0,42 für Dich entscheidend!
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Varrianz [mm]o^2[/mm] = n * p * q = 1200 * 0,42 * 0,58 =
> 292,32
> ERwartungswert u = n*p = 1200 * 0,42 = 504.
>
> P(|X - u| [mm]\ge[/mm] c) [mm]\le o^2/c^2[/mm]
>
Weil es in der Aufgabenstellung NICHT um absolute Zahlen geht, sondern um den ANTEIL der Gegner, musst Du wie bei der ersten Aufgabe mit [mm] |\bruch{k}{n}-p| [/mm] arbeiten!
Die richtige Formel wäre:
[mm] P(|\bruch{k}{n}-p| \le \epsilon) [/mm] > 1 - [mm] \bruch{1}{4n\epsilon^{2}}
[/mm]
Laut Aufgabenstellung soll das nun wenigstens 0,75 sein:
1 - [mm] \bruch{1}{4n\epsilon^{2}} \ge [/mm] 0,75
Das müssen wir nun nach [mm] \epsilon [/mm] auflösen:
[mm] \bruch{1}{4n\epsilon^{2}} \le [/mm] 0,25
[mm] \epsilon^{2} \ge \bruch{1}{4*1200*0,25}
[/mm]
[mm] \epsilon^{2} \ge \bruch{1}{1200}
[/mm]
[mm] \epsilon \ge [/mm] 0,029
Das gesuchte Intervall lautet demnach: [mm] |\bruch{k}{n}-0,42| \le [/mm] 0,029
Die Umrechnung auf absolute Zahlen könntest Du durch Multiplikation mit der Gesamtzahl der Einwohner erreichen.
Da Du diese jedoch nicht kennst, ist das hier auch nicht möglich.
Dein Vorschlag (sowohl Deine Lösung, als auch die "angeblich richtige") ist insofern sinnlos, als es ja bekannt ist, wieviele von den 1200 Befragten dafür bzw. dagegen sind: Hier ein Intervall anzugeben würde ja das Umfrageergebnis relativieren!!!
Also kannst Du auf Grund der Umfrage nur folgern:
Der Anteil der Gegner wird mit mindestens 75% Sicherheit
zwischen 0,42-0,029 = 0,391 (39,1%) und 0,42+0,029 = 0,449 (44,9%) liegen.
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