Tschebyscheff-Ungleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | | X sei die Augensumme beim Wurf zweier LAPLACE-Würfel. Bestimmen Sie P({|X - E(X)| < a}) für a = 2, a = sigma, a = 2*sigma, a = 3*sigma und vergleichen Sie dazu jeweils die Abschätzung durch die Tschebyscheff-Ungleichung. |
Ich habe die Aufgabe zwar gelöst, weiß aber nicht ob ich richtig vorgegangen bin und ob die Lösungen stimmen.
Für a=2:
Als erstes habe ich einen Erwartungswert von 2 Würfel bestimmt , das wäre E(x)=7
Dann bin ich folgendermaßen vorgegangen: |x-7|<2 und somit den Intervall bestimmt: 5<x<9 oder 6 kleiner gleich x kleiner gleich 8.
Dann habe ich die Wahrscheinlichkeiten addiert: P({x=6})+P({x=7)}+P({x=8})= 5/36 + 1/6 + 5/36 = 4/9
Abschätzung würde dann folgendermaßen aussehen: a=sigma= [mm] \wurzel{npq}
[/mm]
Dann den Erwartungswert bestimmen: 4*1/36 + 9*2/36 + 16*3/36 + 25*4/36 + 36*5/36 + 49 * 6/36 + 64*5/36 + 81*4/36 + 100 *3/36+121*2/36+144*1/36 = 54 5/6
Dann Varianz bestimmen: Var (x) = 54 5/6 - 49 = 5 5/6
Und dann mir Hilfe von Tshebyscheff-Ungleichung abschätzen:
P({x-7})|<2) größer gleich 5 5/6 durch 4 größer gleich 1 11/24.
Für a = sigma:
|x-7| < [mm] \wurzel{5 5/6}
[/mm]
Intervall: 5 kleiner gleich x kleiner gleich 9
P(5kleiner gleich x kleiner gleich 9)=2/3
Abschätzung: P({|x-7|< [mm] \wurzel{5 5/6} [/mm] }) größer gleich 1.
Für a = 2*sigma:
P ({3 kleiner gleich x kleiner gleich 11}) = 1-2/36 = 34/36
Abschätzung: P({|x-7|<2 * [mm] \wurzel{5 5/6}}) [/mm] größer gleich 1/4
Für a=3*sigma:
P ({0 kleiner gleich x kleiner gleich 14}) = 1
Abschätzung: ({|x-7|<3 * [mm] \wurzel{5 5/6} [/mm] }) größer gleich 1/9
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr überprüfen könntet ob ich alles richtig gelöst habe.
Grüsse
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Sa 26.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Denise,
> X sei die Augensumme beim Wurf zweier LAPLACE-Würfel.
> Bestimmen Sie P({|X - E(X)| < a}) für a = 2, a = sigma, a =
> 2*sigma, a = 3*sigma und vergleichen Sie dazu jeweils die
> Abschätzung durch die Tschebyscheff-Ungleichung.
> Ich habe die Aufgabe zwar gelöst, weiß aber nicht ob ich
> richtig vorgegangen bin und ob die Lösungen stimmen.
>
> Für a=2:
> Als erstes habe ich einen Erwartungswert von 2 Würfel
> bestimmt , das wäre E(x)=7
> Dann bin ich folgendermaßen vorgegangen: |x-7|<2 und somit
> den Intervall bestimmt: 5<x<9 oder 6 kleiner gleich x
> kleiner gleich 8.
> Dann habe ich die Wahrscheinlichkeiten addiert:
> P({x=6})+P({x=7)}+P({x=8})= 5/36 + 1/6 + 5/36 = 4/9
bis hier ist alles richtig.
> Abschätzung würde dann folgendermaßen aussehen: a=sigma=
> [mm]\wurzel{npq}[/mm]
??? das ist die Standardabweichung bei Binomialverteilung, hier nicht anwendbar.
> Dann den Erwartungswert bestimmen: 4*1/36 + 9*2/36 +
> 16*3/36 + 25*4/36 + 36*5/36 + 49 * 6/36 + 64*5/36 + 81*4/36
> + 100 *3/36+121*2/36+144*1/36 = 54 5/6
>
> Dann Varianz bestimmen: Var (x) = 54 5/6 - 49 = 5 5/6
so ist es gut (ich hab nicht nachgerechnet)
>
> Und dann mir Hilfe von Tshebyscheff-Ungleichung abschätzen:
>
> P({x-7})|<2) größer gleich 5 5/6 durch 4 größer gleich 1
> 11/24.
leider nicht:
[mm] $P(\{|X - \mu| < a\}) \geq [/mm] 1 - [mm] \frac{\sigma^2}{a^2}$
[/mm]
Zu dem Ergebnis, das Tschebyscheff dann liefert, kann man nur noch sagen:
So schlau waren wir vorher auch schon 
> Für a = sigma:
>
> |x-7| < [mm]\wurzel{5 5/6}[/mm]
> Intervall: 5 kleiner gleich x
> kleiner gleich 9
> P(5kleiner gleich x kleiner gleich 9)=2/3
ja. Korrigiere die weiteren Rechnungen bitte entsprechend.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> >
> > Dann Varianz bestimmen: Var (x) = 54 5/6 - 49 = 5 5/6
>
> so ist es gut (ich hab nicht nachgerechnet)
>
Stimmt. Hab nachgerechnet.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Denise86 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Habe versucht die Fehler bei der Abschätzung mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung zu korregieren:
für a = 2: P{|X-7|≤2})≥ 1 35/11 = - 11/24 = -0,46
für a = sigma: P{|X-7|≤Wurzel aus 35/6})≥ 1- 1=0
für a = 2*sigma: P({|X 7| < 2* Wurzel aus 35/6 ≥ 1 - ¼ = 3/4
für a = 3*sigma: ({|x-7|<3 * Wurzel aus 35/6}) ≥1 - 1/9=8/9
Bei dem Vergleich mit der genaueren Abschätzung habe ich festgestellt:
Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert annähernde, aber ungenaue Werte, es gibt immer kleine Abweichungen! |
Könnt ihr bitte nachrechnen ob es richtig ist? Vielen, vielen Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Sa 26.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Habe versucht die Fehler bei der Abschätzung mit Hilfe der
> Tschebyscheff-Ungleichung zu korregieren:
> für a = 2: P(|X-7|<2) [mm] \ge [/mm] 1 35/11 = -11/24 = -0,46
Hier habe ich [mm] 1-\bruch{35}{24}
[/mm]
> für a = sigma: [mm] P(|X-7|<\wurzel{35/6}) \ge [/mm] 1-1=0
OK
> für a = 2*sigma: P(|X 7| < [mm] 2*\wurzel{35/6}) \ge 1-\bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
OK
> für a = 3*sigma: [mm] P(|x-7|<3*\wurzel{35/6}) \ge 1-\bruch{1}{9}=\bruch{8}{9}
[/mm]
>
OK
> Bei dem Vergleich mit der genaueren Abschätzung habe ich
> festgestellt:
> Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert annähernde, aber
> ungenaue Werte, es gibt immer kleine Abweichungen!
> Könnt ihr bitte nachrechnen ob es richtig ist? Vielen,
> vielen Danke im Voraus!
mfg ullim
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| Aufgabe | | Hier habe ich $ [mm] 1-\bruch{35}{24} [/mm] $(Feststellung beim Vergleich) auch soweit richtig? |
bei a=2 habe ich auch 1-35/24 = - 11/24. Habe mich verschrieben. Danke euch! Ist dann das Endergebnis (Feststellung beim Vergleich) auch soweit richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Do 31.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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