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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Tschebyschoff Polynome
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Tschebyschoff Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Mi 24.12.2008
Autor: Martinius

Aufgabe
Use the generating function

[mm] $\bruch{1-tx}{1-2tx+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}T_{n}(x)t^n$ [/mm]

for the Chebyshev polynomials, [mm] T_{n}(x), [/mm] find [mm] T_{1}(x), T_{2}(x). [/mm]

In der Lösung steht dann:

Using long division on the left side of this equation and combining like powers of t yields:

[mm] $(1)t^0+(x)t^1+(2x^2-1)t^2+...$ [/mm]


Was habe ich denn unter long division zu verstehen? Eine Polynomdivision liefert nicht das gewünschte Ergebnis.


Nach Lösen der DGL mit der Normierungsbedingung [mm] T_{n}(1)=1 [/mm] komme ich schon auf die Tschebyschoff-Polynome, aber zu der obigen Aufgabe fällt mir, als Nicht-Mathematiker, nichts ein.

Und angelegentlich noch eine Frage: wie übersetzt man denn "ordinary point" und "regular singular point" ins Deutsche?


Vielen Dank für eine Antwort.

LG, Martinius

        
Bezug
Tschebyschoff Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Mi 24.12.2008
Autor: MathePower

Hallo Martinius,

> Use the generating function
>  
> [mm]\bruch{1-tx}{1-2tx+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}T_{n}(x)t^n[/mm]
>  
> for the Chebyshev polynomials, [mm]T_{n}(x),[/mm] find [mm]T_{1}(x), T_{2}(x).[/mm]
>  
> In der Lösung steht dann:
>  
> Using long division on the left side of this equation and
> combining like powers of t yields:
>  
> [mm](1)t^0+(x)t^1+(2x^2-1)t^2+...[/mm]
>  
>
> Was habe ich denn unter long division zu verstehen? Eine
> Polynomdivision liefert nicht das gewünschte Ergebnis.
>  


Bringt man die Formel auf einen Nenner, so steht dann da:

[mm]1-tx=\left(1-2tx+t^{2}\right)*\sum_{n=0}^{\infty}T_{n}(x)t^n[/mm]

Um jetzt die unbekannten [mm]T_{n}\left(x\right)[/mm] zu bestimmen, benutzt man das []Cauchy-Produkt.


>
> Nach Lösen der DGL mit der Normierungsbedingung [mm]T_{n}(1)=1[/mm]
> komme ich schon auf die Tschebyschoff-Polynome, aber zu der
> obigen Aufgabe fällt mir, als Nicht-Mathematiker, nichts
> ein.
>  
> Und angelegentlich noch eine Frage: wie übersetzt man denn
> "ordinary point" und "regular singular point" ins
> Deutsche?
>  
>
> Vielen Dank für eine Antwort.
>  
> LG, Martinius


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Tschebyschoff Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 Fr 26.12.2008
Autor: Martinius

Hallo Mathe-Power,

vielen Dank für deine Antwort. Ich bin auf die Lösung gekommen.

LG, Martinius

Bezug
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