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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 So 13.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Der Turm von Babylon werde durch aufeinanderstapeln von
Würfeln [mm] W_{n} [/mm] der Kantenlänge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nachgebaut, wobei n = 1,2,3,... ist.
Die Bodenfläche des (n+1)-ten Würfels werde dabei auf die Mitte der Dachfläche des n-ten Würfels gesetzt.
a) Wie hoch wird der Turm ?
b) Kann der Turm mit endlich viel Farbe angestrichen werden ?
c) Kommen die Baumeister mit endlich viel Beton aus, wenn jeder Würfel ganz aus Beton besteht ? |
Hallo,
a)Der Turm müsste doch unendlich hoch werden, da die blöcke ja infinitisemal klein werden.
b)Da der turm unendlich hoch wird kann er theoretisch nicht mit endlich viel farbe angestrichen werden. praktisch schon.
c) meiner meinung nach die selbe antwort wie bei b)!
Sind meine antworten so richtig?
LG Toni
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Hallo,
überlege dir zunächst, was mit der Höhe passiert:
[mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+ [/mm] ... [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
erkennst, was hier entsteht?
Bei der Farbe mußt du dir überlegen, was gestrichen wird, vom 1. Würfel entfällt die Grundfläche, und ein Teil der Deckfläche, da steht der nächste Würfel drauf, ebenso beim 2. Würfel u.s.w.
Beim Beton benötigst du das Volumen aller Würfel,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
a)Der Turm wird endlich hoch. Die Bausteine werden immer kleiner. am ende werden sie so klein, dass man sie nicht mehr bauen kann.
b) also kann man sie auch mit endlich viel farbe einstreichen, da so wie du es schon sagtest nicht jeder stein komplett rundherum angestrichen werden muss.
c) da der turm endlich hoch ist kann man ihn auch mit endlich viel beton bauen.
das volumen vom 2ten stein ist doch halb so groß wie das vom ersten. das volumen wird auch immer kleiner. 1/4 wieder die hälfte von 1/2 und so weiter.
gibts da formeln die ich anwenden kann um das zu beweisen?
LG Toni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Mo 14.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Die Summe von unendlich vielen Teilen, die immer kleiner werden kann sowohl unendlich, wie auch endlich sein!
2. Wenn etwa unendlich hoch ist kann es unendliches oder endliches Volumen haben, genauso wie ne endliche Oberfläche oder ne unendliche.
3. habt ihr schon mal über Reihen, etwa die harmonische Reihe gesprochen, sonst sieh dafür mal in wiki nach!
Deine Aufgabe ist eine Aufgabe zur Konvergenz von Reihen!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mo 14.01.2008 | | Autor: | oli_k |
Damit es klarer wird:
Schaue dir zum Vergleich mal an, was bei Flächen der Größe [mm] 2^{-n+1} [/mm] passieren würde, wenn du auch hier n=1,2,3,... setzt.
Tipp zu 1/n:
[mm] \underbrace{1+1/2}_{\ge1/2+1/2+1/2}+\underbrace{1/3+1/4}_{\ge1/4+1/4\ge1/2}+\underbrace{1/5+1/6+1/7+1/8}_{\ge1/8+1/8+1/8+1/8\ge1/2}
[/mm]
Wie du siehst, kann man das solange weiterführen, wie man will, und erhält dennoch jedes Mal etwas, was größer als 1/2 ist. Geht das bei meinem Beispiel oben auch?
Grüße,
Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
bei deinem oberen beispiel werden die werte immer kleiner. immer um die hälfte. die streben gegen null, also nicht ins unendliche.
Meiner Meinung nach wird der Turm unendlich hoch,da doch die summe aus 1/n ins unendliche geht. wo soll der denn da endlich werden?
mit der Farbe und dem Beton ist mir das noch nicht ganz klar, warum die endiche Farbe und der endliche Beton ausreichen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mo 14.01.2008 | | Autor: | oli_k |
Richtig, der Turm wird unendlich hoch.
Die genaue Antwort wird DaReava wohl gleich liefern, doppelt bringt ja auch nichts.
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mo 14.01.2008 | | Autor: | DaReava |
Hallo!
Ich weiß nicht, was dir die Begriffe "Majorantenkriterium" und "Riemannsche Zetafunktion" sagen,
bzw ob ihr diese Regeln verwenden dürft.
Wenn ja dürfte das der schnellste / einfachste Weg sein, die Aufgabe zu lösen.
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Edit + Edit2:
Da war ich wohl zu voreilig. Die angegebene Lösung hat nicht gestimmt,
Bei der Umformung der Oberfläche ist mir ein (peinlicher) Fehler unterlaufen.
(Ich hätte den Faktor 5 nicht herauszuiehen dürfen, da er ja nur auf ein Glied der Summe zielt...)
Betrachte sichtbare Oberfläche des n. Würfels:
5 sichtbare Seitenflächen, davon eine (die obere) um die Fläche des nachfolgenden (n+1.) Würfels verringert.
Eine Seite des n. Würfels hat die Fläche [mm] A=(\bruch{1}{n})^2=\bruch{1}{n^2} [/mm]
Also ist die ganze Oberfläche des Turms so groß:
[mm] [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(5* \bruch{1}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+1)^2}) [/mm]
Hast du das getan, kannst du auch zeigen, dass das Volumen endlich ist:
(Wenn du einen Weg gefunden hast das zu zeigen...)
Denn das Volumen des n. Würfels ist [mm] (\bruch{1}{n})^3 = \bruch{1}{n^3} [/mm]
Also ist das Volumen des ganzen Turms [mm] V = \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^3} [/mm]
Jetzt musst du "nur noch" zeigen, dass ab einer bestimmten größe von n jedes Glied aus dieser Summe kleiner als das entsprechende Glied aus der Summe zur Berechnung der Oberfläche ist.
also weise nach: [mm] \bruch{1}{n^3} \le (5* \bruch{1}{n^2}- \bruch{1}{(n+1)^2}) [/mm] für n ab einer bestimmten Größe.
Dann kannst du schon folgern, dass auch das Volumen endlich sein muss, da ja die Oberfläche endlich und das Volumen schon ab einem gewissen Punkt im Endlichen kleiner ist (und somit wieder einen endlichen Wert ergeben muss)
(Habe gerade gelesen, dass ihr das Majorantenkriterium schon hattet. Was ich beschrieben habe, ist genau das angewandt.)
lg reava
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
Ja das Majorantenkriterium hatten wir in der vorlesung.
aber ganz genau weis ich nicht wie ich das mit dem kriterium erklären soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Di 15.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Majorantenkriterium sagt hier: Wenn die Summe der ganzen Oberflächen also [mm] 6*1/n^2 [/mm] schon endlich ist, dann natürlich die kleinere Summe, bei der ein Fleck immer ohne Farbe ist erst recht!
Allgemeiner, wenn jedes Glied der Summe ab irgend einem Zählindex immer kleiner ist als die Glieder einer endlichen Summe, dann konvergiert (bleibt endlich) auch die Summe mit den kleineren gliedern das leuchtet doch direkt ein!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Di 15.01.2008 | | Autor: | patsch |
Ich habe die Aufgabe mit dem Quotienetnkriterium gelöst, dabei erhalte ich bei allen drei Aufgaben [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] [mm]\le[/mm] 1.
Diese Aussage bedeutet doch das die Reihe konvergieren oder divergieren kann. Womit und Wie kann ich das nun eindeuig beweisen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Di 15.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass die harmonische Reihe- [mm] a_n=1/n [/mm] wird meist in der Vorlesung bewiesen, sonst siehe den Beweis in der 1. Antwort von oli.
für [mm] a_n=1/n^2
[/mm]
für n>3 nimmst du ein majorantenkriterium (geometrische Reihe), ebenso für [mm] a_n=1/n^3
[/mm]
Mit Quotientenkriterium gehts nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
Vielen Dank an alle, die mir geholfen haben.
LG Toni
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