Typ bestimmen von quadr.FOrm < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe: Man bestimme den Typ einer quadratischen Form
Q(x)= [mm] x_{1} x_{2}+ x_{2} x_{3}. [/mm] |
also ;
es fängt schon an beim ablesen der Matrix aus der quadratischen FOrm:
hab ich raus:
G= [mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{2} & 0 \\ \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0} [/mm]
1.Frage stimmt das?
2. Frage Danach muss man doch diese matrix auf eine form bringen,
inder in der Hauptdiagonalen erst p mal 1 steht , dann q -1 und r 0 oder??
also das ganze soll so aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
vielen dank für hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo student0815,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe: Man bestimme den Typ einer quadratischen Form
> Q(x)= [mm]x_{1} x_{2}+ x_{2} x_{3}.[/mm]
> also ;
> es fängt schon an beim ablesen der Matrix aus der
> quadratischen FOrm:
> hab ich raus:
>
> G= [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} & 0 \\ \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0}[/mm]
>
> 1.Frage stimmt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Frage Danach muss man doch diese matrix auf eine form
> bringen,
Ja, das geht mit der Eigenwerttheorie.
> inder in der Hauptdiagonalen erst p mal 1 steht , dann q
> -1 und r 0 oder??
> also das ganze soll so aussehen:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
Zunächst bestimme das charakterische Polynom der obigen Matrix.
[mm]\det(A\;-\;\lambda\;I)\;=\;0[/mm]
I ist hier die Einheitsmatrix.
Die Lösungen hiervon sind die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] der Matrix A.
Bestimme dann zu jedem Eigenwert [mm]\lambda[/mm] einen Eigenvektor:
Konkret: Bestimme eine Lösung von
[mm](A\;-\lambda\;I)\;\vec{ev}\;=\vec{0}[/mm]
Baue diese Eigenvektoren zu eine Matrix zusammen, in dem Du die spaltenweise in die Matrix schreibst. Das ist die Transformationsmatrix.
[mm]x\;=\;C\;x'[/mm]
Dann ergibt sich also
[mm]x^T\;A\;x\;=\;(C\;x')^T\;A\;(C\;x)\;=\;{x'}^T\;C^T\;A\;C\;x'[/mm]
Die Matrix [mm]C^T\;A\;C[/mm] ist diejenige Matrix, die auf der Hauptdiagonalen nur die Eigenwerte stehen hat und sonst lauter Nullen.
Gruß
MathePower
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danke für die antwort.
jetzt weiß ich wieder wie's geht :)
Liebe Grüße student0815
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