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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 So 18.05.2008 | | Autor: | Aleksa |
| Aufgabe | Betrachte die Abbildung [mm] exp:M(2x2,\IC) [/mm] →M(2x2,IC).
a) Zeigen Sie, dass [mm] Im(exp)\subset{GL_2(\IC)} [/mm]
b) Zeigen Sie, dass
[mm] sl_2(IC):={A \in M(2x2,IC)|exp(A) \in{SL_2(IC)}} [/mm] ein Untervektorraum von M(2x2,IC) ist.
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...hier mangelt mir etwas an verständnis, da ich nicht genau weiss wie die Gruppe / Abbildung [mm] SL_2 [/mm] so aussieht ...kann mir einer bei der b) helfen ?! Also , dass es nicht leer ist habe ich gezeigt, aber bei der 2, und 3 Bed. , da haperts noch etwas!
Danke!!!
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> Betrachte die Abbildung [mm]exp:M(2x2,\IC)[/mm] →M(2x2,IC).
> a) Zeigen Sie, dass [mm]Im(exp)\subset{GL_2(\IC)}[/mm]
> b) Zeigen Sie, dass
> [mm]sl_2(IC):=\{A \in M(2x2,IC)|exp(A) \in{SL_2(IC)}\}[/mm] ein
> Untervektorraum von M(2x2,IC) ist.
>
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> ...hier mangelt mir etwas an verständnis, da ich nicht
> genau weiss wie die Gruppe / Abbildung [mm]SL_2[/mm] so aussieht
Hallo,
[mm] {SL_2(IC)} [/mm] enthält die 2x2-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IC, [/mm] die die Determinante 1 haben.
> ...kann mir einer bei der b) helfen ?! Also , dass es nicht
> leer ist habe ich gezeigt, aber bei der 2, und 3 Bed. , da
> haperts noch etwas!
Am besten zeigst Du erstmal, was Du bisher getan hast. Sonst weiß man ja nicht, wo die Hilfe ansetzen muß.
Die Abbildung exp ist Dir klar?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 18.05.2008 | | Autor: | Aleksa |
also hatte mir folgendes überlegt gehabt :
[mm] SL_2= [/mm] {A [mm] \in GL_2: [/mm] det(A)=1 }
1) zzg. [mm] sl_2 [/mm] nicht leer ist :
e^spur (A) = 1 => e^(a_11+a_22) =1 => a_11+a_22=log(1)=0
=> a_11 = -a _22 also sind matrizen der Form ( a_11, a_22, a_21,-a_11) in sl_ 2 enthalten
2) zzg. A+B [mm] \in sl_2
[/mm]
exp(A*B)=exp(A)*exp(B) ....( und hier muss ich ja dass mit den determinanten zeigen .....hmmm ...)
3) exp(lamda *A) = exp(A)^lamda
det (exp(A)^lamda=det (exp (A) *det exp(A) )und det exp (A) = 1 also [mm] \in sl_2
[/mm]
danke für deine Hilfe
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> also hatte mir folgendes überlegt gehabt :
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> [mm]SL_2=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{A [mm]\in GL_2:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
det(A)=1 }
>
> 1) zzg. [mm]sl_2[/mm] nicht leer ist :
>
>
> e^spur (A) = 1 => e^(a_11+a_22) =1 => a_11+a_22=log(1)=0
> => a_11 = -a _22 also sind matrizen der Form ( a_11, a_22,
> a_21,-a_11) in sl_ 2 enthalten
Hallo,
ich verstehe nicht, was Du getan hast. Was [mm] e^{spur A} [/mm] damit zu tun?
Kannst Du ganz konkret (mit Zahlen) eine Matrix nennen, die in der fraglichen Menge ist?
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> 2) zzg. A+B [mm]\in sl_2[/mm]
>
> exp(A*B)=exp(A)*exp(B) ....( und hier muss ich ja dass mit
> den determinanten zeigen .....hmmm ...)
Was ist denn det(exp(A)*exp(B)) ?
Bedenke, daß A und B in der Menge sind.
>
> 3) exp(lamda *A) = exp(A)^lamda
Hm. Ich kann mir z.B. unter [mm] (exp(A))^{\bruch{1}{2}} [/mm] gar nichts vorstellen. Habt Ihr das definiert? Wenn ja: wie?
Gruß v. Angela
> det (exp(A)^lamda=det (exp (A) *det exp(A) )und det exp
> (A) = 1 also [mm]\in sl_2[/mm]
>
> danke für deine Hilfe
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