UVR des K-VR Abb(X,K) < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für $ X [mm] \neq \emptyset [/mm] $ und den $ K $-Vektorraum $ Abb(X, K) $ sei [mm] $V_0 [/mm] = [mm] \{ f:X \rightarrow K: f(x) = 0$ für fast alle $x \in X \}$ [/mm] eine Teilmenge von $V$.
a) Zeigen Sie, dass [mm] $V_0$ [/mm] ein Untervektorraum von $v$ ist.
b) Zeigen Sie, dass [mm] $(f_x)_{x \in X}$ [/mm] mit $ [mm] f_k: [/mm] X [mm] \rightarrow [/mm] K; a [mm] \mapsto f_x(a) [/mm] = 1 $, falls $ a=x $, sonst $ [mm] f_x(a)=0 [/mm] $, falls $ a [mm] \neq [/mm] 0 $ eine Basis von [mm] $V_0$ [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
ich versuche mich seit gestern Abend an diesen Aufgaben und scheitere schon am reinen Verständnis..
zu a)
Ich weiß, dass ich die Untervektorraumaxiome zeigen muss, also [mm] $V_0 \neq \emptyset$, [/mm] abgeschlossenheit bzgl. Addition und Multiplikation.
Menge ist nicht leer
Mein Ziel war es zu zeigen, dass die Nullabbildung in [mm] $V_0$ [/mm] enthalten ist, aber das kann doch nicht sein, da $f(x)$ für mind. ein $x [mm] \in [/mm] X$ ungleich null ist, und die Nullabbildung für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ gleich null sein muss?
Abgeschlossenheit bzgl. Addition
Wenn $f(x)$ und $g(x)$ für endlich viele $x [mm] \in [/mm] X$ ungleich null sind, dann ist $(f+g)(x)$ zumindest für alle anderen $x$ gleich $0$
(also für alle $x$ die weder $f(x)$ noch $g(x)$ ungleich 0 ergeben)
Abgeschlossenheit bzgl Skalarmultiplikation
Wenn $f(x)$ und $g(x)$ für endlich viele $x [mm] \in [/mm] X$ ungleich null sind, dann ist $(f [mm] \cdot [/mm] g)(x)$ zumindest für alle $x$ die sowohl $f(x) [mm] \neq [/mm] 0$ und $g(x) [mm] \neq [/mm] 0$ ergeben ungleich null und für alle anderen gleich 0.
Damit wäre alles außer das mit der leeren Menge gezeigt.
zu b)
Ich habe in meinem letzten Thread (>hier<) erfahren, dass [mm] $(f_x)_{x \in X}$ [/mm] eine Basis von $V$ ist. Dann würde [mm] $(f_x)_{x \in X}$ [/mm] hier zwar auch [mm] $V_0$ [/mm] erzeugen, aber nur wenn $V = [mm] V_0$?
[/mm]
In meinem letzten Thread habe ich gemerkt, dass ich ziemliche Schwierigkeiten mit dem Thema habe und bitte euch daher mir möglichst ausführlich zu antworten, weil ich alles "triviale" mit sicherheit nicht verstehen werde. :(
schonmal vielen dank,
Kletteraffe
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> Für [mm]X \neq \emptyset[/mm] und den [mm]K [/mm]-Vektorraum [mm]Abb(X, K)[/mm] sei
> [mm]V_0 = \{ f:X \rightarrow K: f(x) = 0[/mm] für fast alle [mm]x \in X \}[/mm]
> eine Teilmenge von [mm]V[/mm].
> a) Zeigen Sie, dass [mm]V_0[/mm] ein Untervektorraum von [mm]v[/mm] ist.
> b) Zeigen Sie, dass [mm](f_x)_{x \in X}[/mm] mit [mm]f_k: X \rightarrow K; a \mapsto f_x(a) = 1 [/mm],
> falls [mm]a=x [/mm], sonst [mm]f_x(a)=0 [/mm], falls [mm]a \neq 0[/mm] eine Basis von
> [mm]V_0[/mm] ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich versuche mich seit gestern Abend an diesen Aufgaben und
> scheitere schon am reinen Verständnis..
>
> zu a)
> Ich weiß, dass ich die Untervektorraumaxiome zeigen muss,
> also [mm]V_0 \neq \emptyset[/mm], abgeschlossenheit bzgl. Addition
> und Multiplikation.
>
> Menge ist nicht leer
> Mein Ziel war es zu zeigen, dass die Nullabbildung in [mm]V_0[/mm]
> enthalten ist, aber das kann doch nicht sein, da [mm]f(x)[/mm] für
> mind. ein [mm]x \in X[/mm] ungleich null ist, und die Nullabbildung
> für jedes [mm]x \in X[/mm] gleich null sein muss?
Hallo,
das Problem liegt in "für fast alle":
"für fast alle" bedeutet: alle bis auf endlich viele.
Es dürfen also hier endlich viele Funktionswerte [mm] \not=0 [/mm] sein. Und wenn kein Funktionswert [mm] \not=0 [/mm] ist, dann sind das ja auch endlich viele.
>
> Abgeschlossenheit bzgl. Addition
> Wenn [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] für endlich viele [mm]x \in X[/mm] ungleich
> null sind, dann ist [mm](f+g)(x)[/mm] zumindest für alle anderen [mm]x[/mm]
> gleich [mm]0[/mm]
> (also für alle [mm]x[/mm] die weder [mm]f(x)[/mm] noch [mm]g(x)[/mm] ungleich 0
> ergeben)
>
> Abgeschlossenheit bzgl Skalarmultiplikation
> Wenn [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] für endlich viele [mm]x \in X[/mm] ungleich
> null sind, dann ist [mm](f \cdot g)(x)[/mm] zumindest für alle [mm]x[/mm]
> die sowohl [mm]f(x) \neq 0[/mm] und [mm]g(x) \neq 0[/mm] ergeben ungleich
> null und für alle anderen gleich 0.
>
> Damit wäre alles außer das mit der leeren Menge gezeigt.
>
> zu b)
> Ich habe in meinem letzten Thread
> (>hier<) erfahren, dass
> [mm](f_x)_{x \in X}[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm] ist.
Hallo,
nein, das hast Du dort nicht erfahren.
Du hast dort erfahren, daß das eine Basis ist, wenn X endlich ist.
(Hallo???? Wir hatten doch zusammen gezeigt, daß das für eine unendliche Menge X kein Erzeugendensystem von V ist.(?))
> Dann würde [mm](f_x)_{x \in X}[/mm]
> hier zwar auch [mm]V_0[/mm]
> erzeugen, aber nur wenn [mm]V = V_0[/mm]?
Zunächst einmal halten wir fest, daß für jedes x die Funktion [mm] f_x [/mm] in [mm] V_0 [/mm] ist.
Die lineare Unabhängigkeit der [mm] (f_x)_{x \in X} [/mm] hattest Du ja schon gezeigt, oder?
Nun zeige, daß Du mit ihnen [mm] V_0 [/mm] erzeugen kannst.
Wenn [mm] V=V_0 [/mm] sind sie natürlich auch eine Basis von V, aber wenn [mm] V\not=V_0 [/mm] sind sie eben keine Basis von V, sondern bloß eine Basis von [mm] V_0.
[/mm]
LG Angela
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Hallo angela,
nochmal vielen Dank für deine Antwort! :)
> Hallo,
>
> das Problem liegt in "für fast alle":
> "für fast alle" bedeutet: alle bis auf endlich viele.
> Es dürfen also hier endlich viele Funktionswerte [mm]\not=0[/mm]
> sein. Und wenn kein Funktionswert [mm]\not=0[/mm] ist, dann sind das
> ja auch endlich viele.
>
Also argumentiere ich damit, dass [mm] $V_0$ [/mm] eine Nullabbildung enthalten muss, weil $f(x) [mm] \neq [/mm] 0$ nur für endlich viele $x [mm] \in [/mm] X$ für alle $f [mm] \in V_0$ [/mm] gilt? Irgendwie ist das nicht so schlüssig für mich.. ich meine, wieso kann ich denn davon ausgehen dass [mm] $V_0$ [/mm] über eine Nullabbildung verfügt? es könnte doch auch sein, dass für alle $f [mm] \in V_0$ [/mm] gilt, dass mind. ein $x [mm] \in [/mm] X$ existiert, sodass $f(x) [mm] \neq [/mm] 0$?
> >
> > Abgeschlossenheit bzgl. Addition
> > Wenn [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] für endlich viele [mm]x \in X[/mm] ungleich
> > null sind, dann ist [mm](f+g)(x)[/mm] zumindest für alle anderen
> [mm]x[/mm]
> > gleich [mm]0[/mm]
> > (also für alle [mm]x[/mm] die weder [mm]f(x)[/mm] noch [mm]g(x)[/mm] ungleich 0
> > ergeben)
> >
> > Abgeschlossenheit bzgl Skalarmultiplikation
> > Wenn [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] für endlich viele [mm]x \in X[/mm] ungleich
> > null sind, dann ist [mm](f \cdot g)(x)[/mm] zumindest für alle
> [mm]x[/mm]
> > die sowohl [mm]f(x) \neq 0[/mm] und [mm]g(x) \neq 0[/mm] ergeben ungleich
> > null und für alle anderen gleich 0.
> >
Ist das hier denn richtig? ich denke schon, aber wäre heute nicht das erste mal, dass ich mich komplett irre :D
> > Damit wäre alles außer das mit der leeren Menge
> gezeigt.
>
> >
> > zu b)
> > Ich habe in meinem letzten Thread
> > (>hier<) erfahren,
> dass
> > [mm](f_x)_{x \in X}[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm] ist.
>
> Hallo,
>
> nein, das hast Du dort nicht erfahren.
> Du hast dort erfahren, daß das eine Basis ist, wenn X
> endlich ist.
> (Hallo???? Wir hatten doch zusammen gezeigt, daß das für
> eine unendliche Menge X kein Erzeugendensystem von V
> ist.(?))
>
Jaaa, natürlich, tut mir leid, du hast recht, mir ist nur "basis von V" im kopf rumgeschwirrt, den teil mit dem "x endliche menge" hätte ich natürlich nicht einfach unterschlagen dürfen.
>
> > Dann würde [mm](f_x)_{x \in X}[/mm]
> > hier zwar auch [mm]V_0[/mm]
> > erzeugen, aber nur wenn [mm]V = V_0[/mm]?
>
> Zunächst einmal halten wir fest, daß für jedes x die
> Funktion [mm]f_x[/mm] in [mm]V_0[/mm] ist.
> Die lineare Unabhängigkeit der [mm](f_x)_{x \in X}[/mm] hattest Du
> ja schon gezeigt, oder?
> Nun zeige, daß Du mit ihnen [mm]V_0[/mm] erzeugen kannst.
>
Oookay.. also, die lin. unabhängigkeit habe ich schon gezeigt, nun noch zeigen, dass [mm] $(f_x)_{x \in X}$ [/mm] das Erzeugendensystem von [mm] $V_0$ [/mm] ist.. ich kann jeden Vektor $v [mm] \in V_0$ [/mm] erzeugen, indem.. ich [mm] $\lambda_x$ [/mm] so wähle, dass [mm] $\lambda_x [/mm] = 1$ für $f(x) [mm] \neq [/mm] 1$ und [mm] $\lambda_x [/mm] = 0$ für $f(x) = 0$ für $g(x) = [mm] \sum_{k\in X} \lambda_x \cdot f_k [/mm] (x)$ mit $g [mm] \in V_0$.
[/mm]
Ist das soweit richtig oder vollkommen am ziel vorbei?
> Wenn [mm]V=V_0[/mm] sind sie natürlich auch eine Basis von V, aber
> wenn [mm]V\not=V_0[/mm] sind sie eben keine Basis von V, sondern
> bloß eine Basis von [mm]V_0.[/mm]
>
> LG Angela
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> Hallo angela,
>
> nochmal vielen Dank für deine Antwort! :)
>
> > Hallo,
> >
> > das Problem liegt in "für fast alle":
> > "für fast alle" bedeutet: alle bis auf endlich viele.
> > Es dürfen also hier endlich viele Funktionswerte
> [mm]\not=0[/mm]
> > sein. Und wenn kein Funktionswert [mm]\not=0[/mm] ist, dann sind das
> > ja auch endlich viele.
> >
>
> Also argumentiere ich damit, dass [mm]V_0[/mm] eine Nullabbildung
> enthalten muss, weil [mm]f(x) \neq 0[/mm] nur für endlich viele [mm]x \in X[/mm]
> für alle [mm]f \in V_0[/mm] gilt? Irgendwie ist das nicht so
> schlüssig für mich.. ich meine, wieso kann ich denn davon
> ausgehen dass [mm]V_0[/mm] über eine Nullabbildung verfügt?
Hallo,
in Abb(X,K) sind alle Abbildungen, die aus X nach K abbilden.
Offenbar ist also die Abbildung n mit
n(x):=0 [mm] f.a.x\in [/mm] X
in Abb(X,k).
Die Frage ist nun: ist n auch in [mm] V_0?
[/mm]
Antwort: ja. Denn für kein x ist [mm] n(x)\not=0, [/mm] also sind's nur endlich viele x, für die [mm] n(x)\not=0 [/mm] ist, also ist n drin.
> es
> könnte doch auch sein, dass für alle [mm]f \in V_0[/mm] gilt, dass
> mind. ein [mm]x \in X[/mm] existiert, sodass [mm]f(x) \neq 0[/mm]?
Die Abbildungen, für die es genau ein, zwei, fünfunddreißig oder 4711 socher x gibt, sind auch in [mm] V_0.
[/mm]
Und auch die Abbildung, für die es kein solches x gibt.
In der Def. von [mm] V_0 [/mm] steht mit keiner Silbe, daß ein Funktionswert von 0 verschieden sein muß.
Wenn es dort stünde, wär's kein Vektorraum. Dann wäre nämlich n nicht drin.
> Oookay.. also, die lin. unabhängigkeit habe ich schon
> gezeigt, nun noch zeigen, dass [mm](f_x)_{x \in X}[/mm] das
> Erzeugendensystem von [mm]V_0[/mm] ist.. ich kann jeden Vektor [mm]v \in V_0[/mm]
> erzeugen, indem.. ich [mm]\lambda_x[/mm] so wähle, dass [mm]\lambda_x = 1[/mm]
> für [mm]f(x) \neq 1[/mm] und [mm]\lambda_x = 0[/mm] für [mm]f(x) = 0[/mm] für [mm]g(x) = \sum_{k\in X} \lambda_x \cdot f_k (x)[/mm]
> mit [mm]g \in V_0[/mm].
> Ist das soweit richtig oder vollkommen am
> ziel vorbei?
Naja, also erstens mal habe ich an [mm] \lambda_x=1 [/mm] so meine Zweifel.
Mal angenommen, es wäre [mm] g(x_1)=5, [/mm] für alle anderen x sei g(x)=0.
Ich bekomme dann aber, wenn ich in Deine Summe einsetze [mm] g(x_1) [/mm] = 1*1.
Zweitens sehe ich eine Summe, die für mich auf den ersten Blick nicht zwingend endlich ist, und das ist schlimm.
Es darf nicht so sein, daß sich der Leser alles selbst zusammenreimen muß!
Ich würde das so machen:
Sei [mm] g\in V_0.
[/mm]
Dann sind nur für endliche viele Elemente [mm] x_1,...,x_n [/mm] die Funktionswerte von g von 0 verschieden.
Und dann zeigst Du (rechnest vor) wie Du g mit [mm] f_{x_1},...f_{x_n} [/mm] basteln kannst.
LG Angela
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> Naja, also erstens mal habe ich an [mm]\lambda_x=1[/mm] so meine
> Zweifel.
> Mal angenommen, es wäre [mm]g(x_1)=5,[/mm] für alle anderen x sei
> g(x)=0.
> Ich bekomme dann aber, wenn ich in Deine Summe einsetze
> [mm]g(x_1)[/mm] = 1*1.
>
> Zweitens sehe ich eine Summe, die für mich auf den ersten
> Blick nicht zwingend endlich ist, und das ist schlimm.
> Es darf nicht so sein, daß sich der Leser alles selbst
> zusammenreimen muß!
>
> Ich würde das so machen:
>
> Sei [mm]g\in V_0.[/mm]
> Dann sind nur für endliche viele Elemente
> [mm]x_1,...,x_n[/mm] die Funktionswerte von g von 0 verschieden.
>
> Und dann zeigst Du (rechnest vor) wie Du g mit
> [mm]f_{x_1},...f_{x_n}[/mm] basteln kannst.
>
Sei $g [mm] \in V_0$, [/mm] dann ist $Y [mm] \subset [/mm] X$ die Menge aller $x$ für die gilt, dass $g(x) [mm] \neq [/mm] 0$.
Nun sei $g(x') = a$ für ein $x' [mm] \in [/mm] Y$. Außerdem ist $X = Y [mm] \cup X\setminus [/mm] Y$ und $Y$ ist endlich, da nur für endlich viele $x'$ gilt, dass $g(x') [mm] \neq [/mm] 0$.
Nun ist $g(x) = 0 = [mm] \sum_{k \in X} [/mm] 0 [mm] \cdot f_k(x) [/mm] $ für $x [mm] \in X\setminus [/mm] Y$. Also alle Skalare gleich 0.
Und $g(x') = a = [mm] \sum_{k \in X\Y} \lambda_k \cdot f_k(x') [/mm] + [mm] \sum_{k \in Y} \lambda_k \cdot f_k(x')$ [/mm] Nun setzen wir alle Skalare [mm] $\lambda_x [/mm] = 0$ für $x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] Y$.
Dann ist $g(x') = a = [mm] \sum_{k \in X\Y} \lambda_k \cdot f_k(x') [/mm] + [mm] \sum_{k \in Y} \lambda_k \cdot f_k(x') [/mm] = 0 + [mm] \sum_{k \in Y} \lambda_k \cdot f_k(x')$ [/mm] Nun wissen wir, dass [mm] $f_x [/mm] (x') = 0$ falls $x [mm] \neq [/mm] x'$ und [mm] $f_x [/mm] (x') = 1$ falls $x = x'$.
Also $g(x') = a = [mm] \sum_{k \in X\Y} \lambda_k \cdot f_k(x') [/mm] + [mm] \sum_{k \in Y} \lambda_k \cdot f_k(x') [/mm] = 0 + [mm] \sum_{k \in Y} \lambda_k \cdot f_k(x') [/mm] = [mm] \lambda_{x'} \cdot f_{x'}(x') [/mm] = [mm] \lambda_{x'}$
[/mm]
Also wählen wir einfach für alle vektoren [mm] $f_x$ [/mm] den Skalar [mm] $\lambda_x [/mm] = a$, falls $x [mm] \in [/mm] Y$ und ansonsten [mm] $\lambda_x [/mm] = 0$. Da $Y$ endlich ist, ist auch [mm] $(f_k)_{k \in Y}$ [/mm] endlich.
Damit wäre alles gezeigt. (?)
(die eindeutigkeit sparen wir uns, da wir schon die lin. unabhängigkeit gezeigt haben)
> LG Angela
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> > Ich würde das so machen:
> >
> > Sei [mm]g\in V_0.[/mm]
> > Dann sind nur für endliche viele
> Elemente
> > [mm]x_1,...,x_n[/mm] die Funktionswerte von g von 0 verschieden.
> >
> > Und dann zeigst Du (rechnest vor) wie Du g mit
> > [mm]f_{x_1},...f_{x_n}[/mm] basteln kannst.
> >
>
> Sei [mm]g \in V_0[/mm], dann ist [mm]Y \subset X[/mm] die Menge aller [mm]x[/mm] für
> die gilt, dass [mm]g(x) \neq 0[/mm].
> Nun sei [mm]g(x') = a[/mm] für ein [mm]x' \in Y[/mm].
> Außerdem ist [mm]X = Y \cup X\setminus Y[/mm] und [mm]Y[/mm] ist endlich, da
> nur für endlich viele [mm]x'[/mm] gilt, dass [mm]g(x') \neq 0[/mm].
>
> Nun ist [mm]g(x) = 0 = \sum_{k \in X} 0 \cdot f_k(x)[/mm] für [mm]x \in X\setminus Y[/mm].
> Also alle Skalare gleich 0.
Hallo,
Momentchen mal! Einiges scheint mir hier kreuz und quer zu gehen, anderes ist richtig, aber insgesamt scheint es mir eine explosive Mischung zu werden.
Ich glaube, daß Du zwei verschiedene Dinge vermischst, nämlich Funktion g und ihren Funktionswert an der Stelle x, g(x).
Die Schule trägt die Schuld daran...
Wenn Du g als Linearkombination der [mm] f_x [/mm] schreiben möchtest, kannst Du nicht die Skalare vor den [mm] f_x [/mm] wechseln, je nachdem welchen Funktionswert Du gerade einsetzt.
Du brauchst Skalare, die funktionieren, egal welche Stelle Du gerade betrachtest.
Im folgenden erklärst Du üppig, wie Du darauf kommst, Dein [mm] \lambda_k [/mm] so zu wählen, wie Du es tust.
Das interessiert niemanden - es ist Schmierzettelarbeit.
Gefordert ist, daß Du sagst: trallala, ich kann g als "diese hier!" Linearkombination schreiben.
Und dann mußt Du vorrechnen, daß die aus dem Hut gezauberte Linearkombination es tut.
>
> Und [mm]g(x') = a = \sum_{k \in X\Y} \lambda_k \cdot f_k(x') + \sum_{k \in Y} \lambda_k \cdot f_k(x')[/mm]
> Nun setzen wir alle Skalare [mm]\lambda_x = 0[/mm] für [mm]x \in X \setminus Y[/mm].
>
> Dann ist [mm]g(x') = a = \sum_{k \in X\Y} \lambda_k \cdot f_k(x') + \sum_{k \in Y} \lambda_k \cdot f_k(x') = 0 + \sum_{k \in Y} \lambda_k \cdot f_k(x')[/mm]
> Nun wissen wir, dass [mm]f_x (x') = 0[/mm] falls [mm]x \neq x'[/mm] und [mm]f_x (x') = 1[/mm]
> falls [mm]x = x'[/mm].
>
> Also [mm]g(x') = a = \sum_{k \in X\Y} \lambda_k \cdot f_k(x') + \sum_{k \in Y} \lambda_k \cdot f_k(x') = 0 + \sum_{k \in Y} \lambda_k \cdot f_k(x') = \lambda_{x'} \cdot f_{x'}(x') = \lambda_{x'}[/mm]
>
> Also wählen wir einfach für alle vektoren [mm]f_x[/mm] den Skalar
> [mm]\lambda_x = a[/mm], falls [mm]x \in Y[/mm] und ansonsten [mm]\lambda_x = 0[/mm].
> Da [mm]Y[/mm] endlich ist, ist auch [mm](f_k)_{k \in Y}[/mm] endlich.
Wie gesagt, wir brauchen eine Linearkombination der Funktionen [mm] f_x, [/mm] mit der Du die Funktion g schreiben kannst.
Ich sage Dir jetzt mal, wie Du das machen könntest, denn ich habe den Eindruck, daß Du über die Sache nachdenkst und sie verstehen möchtest.
Sei [mm] g\in V_0.
[/mm]
Dann gibt es nur endlich viele Elemente [mm] x_1,...,x_n\in [/mm] X , deren Funktionswert von 0 verschieden ist.
Es sei [mm] Y:=\{x_1,...,x_n}.
[/mm]
Behauptung:
es ist [mm] g=\summe_{k=1}^ng(x_k)f_{x_k}
[/mm]
Beweis:
[Hier muß man jetzt zeigen, daß die beiden Funktionen g und [mm] \summe_{k=1}^ng(x_k)f_{x_k} [/mm] in der Tat gleich sind.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn sie auf ihrem gesamten Definitionsbereich übereinstimmen.
Hier muß also geprüft werden, ob für jedes [mm] x\in [/mm] X gilt, daß [mm] g(x)=(\summe_{k=1}^ng(x_k)f_{x_k})(x).]
[/mm]
1.Fall: sei [mm] x\in [/mm] Y, sei also [mm] x=x_i [/mm] für ein [mm] i\in \{1,2,...,n\}
[/mm]
Es ist
[mm] (\summe_{k=1}^ng(x_k)f_{x_k})(x_i)
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^ng(x_k)f_{x_k}(x_i) \qquad [/mm] Def. der Summe v. Funktionen
[mm] =g(x_i)*1=g(x_i).
[/mm]
Paßt!
2.Fall: sei [mm] x\in X\setminus [/mm] Y.
Dann ist
[mm] (\summe_{k=1}^ng(x_k)f_{x_k})(x)
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^ng(x_k)f_{x_k}(x) \qquad [/mm] Def. der Summe v. Funktionen
=0=g(x)
Paßt.
Insgesamt hat man gezeigt: für alle [mm] x\in [/mm] X ist
[mm] g(x)=(\summe_{k=1}^ng(x_k)f_{x_k})(x).
[/mm]
also ist [mm] g=\summe_{k=1}^ng(x_k)f_{x_k}.
[/mm]
Eine Sache muß man sich noch überlegen: warum kann man auch die Nullfunktion darstellen?
Man könnte es so machen: da [mm] X\not=\emptyset [/mm] gibt es in X ein Element x', also gibt es die Funktion [mm] f_{x'},
[/mm]
und es ist [mm] n=0*f_{x'}.
[/mm]
LG Angela
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