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| Aufgabe | | Ich habe die Frage in noch kein anderes Forum im Netz gestellt |
Berechnen Sie mit der Trapezregel nährungsweise den Umfang einer Elipse mit den Halbachsen a=2 und b=1
Mit der Umfangsformel U [mm] \approx\pi/2(a+b+ \wurzel{2(a^2+b^2)}) [/mm] habe ich den Wert 9,679
Ich weis nicht wie ich die Trapezregel mit die Formel des Umfangs der Elipse in Verbindung bringen soll
Die Trapezregel ist Tr.=(f(b)+f(a))/2*(b-a)
Danke
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> Ich habe die Frage in noch kein anderes Forum im Netz
> gestellt
> Berechnen Sie mit der Trapezregel nährungsweise den Umfang
> einer Elipse mit den Halbachsen a=2 und b=1
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> Mit der Umfangsformel U [mm]\approx\pi/2(a+b+ \wurzel{2(a^2+b^2)})[/mm]
> habe ich den Wert 9,679
>
> Ich weis nicht wie ich die Trapezregel mit die Formel des
> Umfangs der Elipse in Verbindung bringen soll
> Die Trapezregel ist Tr.=(f(b)+f(a))/2*(b-a)
Die Trapezregel ist ein Verfahren zur näherungsweisen Berechnung eines Integrals. Du musst also zuerst einmal die Ellipse passend parametrisieren, z.B. [mm] $x(t)=a\cdot\cos(t)$, $y(t)=b\cdot\sin(t)$, [/mm] und dann deren Umfang mit Hilfe eines Integrals ausdrücken:
[mm]U=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}\; dt=a\cdot\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2}\cdot\cos^2(t)}\; dt=4\cdot a\cdot \int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2}\cdot\cos^2(t)}\; dt[/mm]
Dieses Integral musst Du nun mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) Trapezregel näherungsweise berechnen. Dabei wird es kaum sinnvoll sein, das Integral durch ein einziges Trapez zu nähern. Du musst vermutlich den Integrationsbereich in mehrere Teilintervalle zerlegen um eine brauchbare Näherung zu erhalten siehe zusammengesetzte Sehnentrapezformel.
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Hallo
Gibt es eine Vorsschrift wie man auf die Umfangformel kommt.
Ich habe Lösung zu dieser Aufgabe aus dem Unterricht und weis
nicht wie man zu dieser Formel kommt. Verständnisproblem.
Meine Frage ist auch wie man auf den Intervall von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
Ich habe nähmlich Angst dias dann auf andere Rotationskörperanzuwenden. Kann jemand mir auch erklären wie man das mit den Teilen ausrechnet.
Danke
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> Hallo
> Gibt es eine Vorsschrift wie man auf die Umfangformel
> kommt.
Es gibt eine allgemeine Möglichkeit, die Länge eines geeignet parametrisierten Bogens durch Integration zu berechnen. Siehe dazu den Artikel zum Thema Länge, speziell Wege in der Ebene und im Raum
> Ich habe Lösung zu dieser Aufgabe aus dem Unterricht und weis
> nicht wie man zu dieser Formel kommt.
Ist dies immer so: dass Du aus dem Unterricht kommst und keine
Ahnung hast, wie der Professor die Lösung begründet hat? - Sollte
eigentlich nicht sein. Spricht der so undeutlich?
> Verständnisproblem.
> Meine Frage ist auch wie man auf den Intervall von 0 bis
> [mm]2\pi[/mm]
Bei der von Dir ursprünglich formulierten Aufgabe ging es darum ein Stück (sogar den ganzen Umfang) eines Ellipsenbogens zu berechnen. Dazu habe ich die Parameterform der Ellipse vorgeschlagen. Von dieser Parameterform her kommt die Wahl der Integrationsgrenzen von [mm] $\varphi=0$ [/mm] bis [mm] $\varphi=2\pi$. [/mm] Aber es ist klar, dass die Ellipse eine Symmetrie hat, die dazu führt, dass die Bogenstücke von [mm] $\varphi\in [0;\pi/2]$, $\varphi\in [\pi/2;\pi]$, $\varphi\in [\pi;3\pi/2]$ [/mm] und [mm] $\varphi\in[3\pi/2;2\pi]$ [/mm] gleich lang sind, so dass ich vorgeschlagen hatte, statt von $0$ bis [mm] $2\pi$, [/mm] nur von $0$ bis [mm] $\pi/2$ [/mm] zu integrieren und den Wert dieses Integrals dafür mit dem Faktor $4$ zu multiplizieren.
Kurz: Die Wahl der Integrationsgrenzen hängt von der Aufgabenstellung und der Parametrisierung ab. Du kannt Dir nicht einfach ein blindes Rezept dafür merken, sondern muss die Integrationsgrenzen aufgrund Deines Verständnisses der Aufgabenstellung und der Parametrisierung jeweils geeignet wählen.
> Ich habe nähmlich Angst dias dann auf andere
> Rotationskörperanzuwenden.
Es ging bei Deiner Aufgabenstellung gar nicht um Rotationskörper. Aber es besteht natürlich ein Zusammenhang zwischen der Berechnung der Bogenlänge und der Berechnung der Oberfläche eines Rotationskörpers. Siehe dazu den Abschnitt Erste Regel der Seite zum Thema Rotationskörper der Wikipedia.
> Kann jemand mir auch erklären
> wie man das mit den Teilen ausrechnet.
Ich denke, Du musst versuchen, Deine Frage(n) genauer auszuformulieren und nicht zu übergangslos von einem Thema zum anderen zu wechseln (wie oben von der Berechnung einer Bogenlänge zu Rotationskörpern). Es macht keinen Sinn, dass ich versuche, zu Deinen Andeutungen frei zu assoziieren: denn das nächste was dann geschieht ist, dass Du schreibst (oder auch nur denkst), ich hätte an Deiner Frage vorbeigeschrieben.
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Hallo
Kannst du mir zeigen, wie ich den Wert ausrechnen. ich habe die Werte a=2 und b=1, trotzdem weis ich nicht wie ich auf den Wet von 90 komme.
Danke
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> Hallo
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> Kannst du mir zeigen, wie ich den Wert ausrechnen. ich habe
> die Werte a=2 und b=1, trotzdem weis ich nicht wie ich auf
> den Wet von 90 komme.
Ich gehe davon aus, dass Du Dich mit dieser Frage auf die ursprüngliche Aufgabe der Berechnung des Umfangs einer Ellipse mit Halbachsen $a=2$ und $b=1$ beziehst. In meiner ersten Antwort auf diese Frage hatte ich vorgeschlagen, den Umfang mit Hilfe des folgenden Integrals zu bestimmen:
[mm] [center]$u=4\cdot a\cdot \int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2}\cdot\cos^2(t)}\; [/mm] dt$[/center]
Ein CAS sagt mir, dass dies [mm] $u\approx [/mm] 9.688$ ergibt. Ich sehe nicht, wie man vernünftigerweise auf einen so grossen Wert wie 90 kommen kann. Der Umfang eines Kreises mit Radius $a=2$ ist ja nur [mm] $\approx [/mm] 12.6$.
Anwendung der Trapezregel auf das obige Integral ergibt, unter Verwendung von [mm] $\frac{a^2-b^2}{2}=\frac{2^2-1^1}{2^2}=\frac{3}{4}$, [/mm] dass
[mm] [center]$u\approx 4\cdot 2\cdot \frac{\frac{\pi}{2}-0}{2}\cdot\left[\sqrt{1-\frac{3}{4}\cdot\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}+\sqrt{1-\frac{3}{4}\cdot \cos^2(0)}\right]=2\pi\cdot \left(1+\frac{1}{2}\right)=3\pi \approx [/mm] 9.43$[/center]
Dies ist zwar noch nicht grossartig genau, aber es ist auch nicht gar sooo schlecht.
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Hallo
Kannst du mir auch zeigen wie mann die einzelnen Nährungen berechnet z.B. n=1,2. Das ich sehen kann wie man Nährungsweise an die 9,688 kommt. Ich weis das n 10 sein muss um die 9,688448224 Kommt. Ich weis nur nicht wie man das rechnet
Danke
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> Kannst du mir auch zeigen
Hallo,
allmählich wäre es mal an der Zeit, daß auch Du irgendetwas zeigst...
Somebody hat sich doch schon die Finger wundgeschrieben zu diesem Thema und alle nötigen Informationen bereitgestellt.
> wie mann die einzelnen Nährungen
> berechnet z.B. n=1,2.
Wie bitte? Welches n? Wovon sprichst Du? Ich habe bisher im ganzen Thread noch nicht ein n entdeckn können...
Daß Du manches nicht ausrechnen kannst, ist völlig in Ordnung, dazu gibt es ja dieses Forum.
Nicht in Ordnung ist es, wenn man gar nicht sieht, ob und wie Du die Informationen, die man Dir gegeben hat, bisher verwertet hat.
Auch würde ich erwarten, daß man in dem Stadium der Ausbildung, in dem Du Dich befindest, sein Problem einigermaßen schlüssig darstellt.
Somebody hat Dir schon gesagt, daß Du den Ellipsenumfang mit dem Integral $ [mm] U=4\cdot a\cdot \int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2}\cdot\cos^2(t)}\; [/mm] dt $ berechnen kannst.
Näherungsweise kann man das mit der zusammengesetzten Sehnentrapezformel tun, auch diese hat Dir Somebody bereits verlinkt.
Je nachdem, in wieviele Teile Du Dein Intervall teilst, ist das n. Beim Teilen in 7 Teile ist n=7, und man muß. um an die Näherung zu kommen, fleißig Funktionswerte ausrechnen und addieren.
Ich würde nun erstmal von Dir sehen(!) wollen, was Du bisher getan hast.
Wie sieht die Sehnentrapezformel aus, und wie lautet sie, wenn Du sie auf Deine konkret vorliegende Aufgabe überträgst?
Wie weit kommst Du nun damit, und an welcher Stelle genau liegt das Problem?
Gruß v. Angela
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> Hallo
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> Kannst du mir auch zeigen wie mann die einzelnen Nährungen
> berechnet z.B. n=1,2. Das ich sehen kann wie man
> Nährungsweise an die 9,688 kommt. Ich weis das n 10 sein
> muss um die 9,688448224 Kommt. Ich weis nur nicht wie man
> das rechnet
Ich bin zwar zu faul um die Details von Hand zu rechnen und hier einzutippen, aber ich kann Dir zeigen, was ich einem CAS eingeben musste und was sein Ergebnis war. Unter Verwendung der zusammengesetzten Sehnentrapezformel erhält man für $n=2$ den Näherungswert $9.679683113$
[Dateianhang nicht öffentlich]
(grün eingezeichnet das den Graphen approximierende Polygon)
Für $n=10$ erhält man den Näherungswert $9.688448221$
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit Hilfe der zusammengesetzten Tangententrapezformel würde man vermutlich für gleiches $N$ eine bessere Näherung erhalten.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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