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| Aufgabe | Seien A und B Mengen mit Teilmengen $C [mm] \subset [/mm] A$ und $D [mm] \subset [/mm] B$.
Von den beiden Formeln ist nur eine allgemein gültig:
$(A [mm] \times [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) = (A [mm] \setminus [/mm] C) [mm] \times [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D)$
$(A [mm] \times [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) = ((A [mm] \setminus [/mm] C) [mm] \times [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \times [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D))$
Finden Sie heraus, welche der beiden Formeln immer richtig ist und begründen Sie warum die andere Formel in vielen Fällen falsch ist. |
Hi, ich möchte vorerst einmal bitte keine Komplettlösung, da ich es gerne selbst versuchen möchte - so lern ich es am besten.
Ich habe das ganze gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Als nächstes habe ich versucht das ganze zu Lösen indem ich A={a, b}, B={c, d}, C={a} und D={c} nach der Formel anwende. Leider komme ich damit nicht weit! Ich habe das ganze auch mit Zahlen versucht.
Mein Problem ist, dass ich keinerlei Ahnung habe wie ich [mm] $\setminus [/mm] und [mm] \times$ [/mm] umformen kann.
Könnt ihr mir einen Tipp geben wie ich das umformen könnte oder wie ich da ran gehen kann?
Danke für eure Hilfe!!!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Do 02.11.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi, ich glaube ich bräuchte mehr als ein kleinen Tipp. Ich komme einfach nicht weiter. Wie würdet ihr vorgehen? Kann man das grafisch lösen oder eher Rechnerisch?
Ich bitte um Hilfe!!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Do 02.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo KnockDown,
Hast du denn schon mal versucht, für deine Beispielmengen die in den Gleichungen angegebenen Mengen zu bestimmen. Du müsstest doch dann schon mal auf eine Idee kommen, welche der beiden Aussagen allgemeingültig sein kann.
Gruß
Sigrid
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Hi Sigrid,
ich habe das schon mehrmals gemacht in mehren Kombinationen. Also ich habe jetzt mal meinen "besten" Lösungsansatz gescannt (ich habe es extra nochmal leserlich abgeschrieben).
Meintest du das so?
Habe ich da evtl einen Fehler gemacht?
Ich habe mir überlegt, dass der einzige Fall bei dem etwas "schief" gehen kann wenn eine der 4 Mengen (A, B, C, D) oder mehrere Mengen eine "leere Menge" ist.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Was sagst du/ihr zu meinem Lösungsansatz????
Danke für die Hilfe!!!
> Hallo KnockDown,
>
> Hast du denn schon mal versucht, für deine Beispielmengen
> die in den Gleichungen angegebenen Mengen zu bestimmen. Du
> müsstest doch dann schon mal auf eine Idee kommen, welche
> der beiden Aussagen allgemeingültig sein kann.
>
> Gruß
> Sigrid
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Do 02.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo KnockDown,
Dein erstes Beispiel war besser. Ich kopiere die Aufgabe und dein Beispiel nochmal hierher
Aufgabe
Seien A und B Mengen mit Teilmengen $ C [mm] \subset [/mm] A $ und $ D [mm] \subset [/mm] B $.
Von den beiden Formeln ist nur eine allgemein gültig:
$ (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) = (A [mm] \setminus [/mm] C) [mm] \times [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D) $
$ (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) = ((A [mm] \setminus [/mm] C) [mm] \times [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \times [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D)) $
Finden Sie heraus, welche der beiden Formeln immer richtig ist und begründen Sie warum die andere Formel in vielen Fällen falsch ist.
Als nächstes habe ich versucht das ganze zu Lösen indem ich A={a, b}, B={c, d}, C={a} und D={c} nach der Formel anwende. Leider komme ich damit nicht weit! Ich habe das ganze auch mit Zahlen versucht.
Für dein Beispiel ist
$ A [mm] \times [/mm] B = [mm] \{(a,c); (a,d); (b,c); (b,d)\} [/mm] $ und
$ C [mm] \times [/mm] D = [mm] \{(a,c) \} [/mm] $
also $ (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) = [mm] \{(a,d); ((b,c); (b,d) \} [/mm] $
Ich hoffe, mir sind keine Schreibfehler unterlaufen. Entsprechend bestimmst du jetzt die übrigen Mengen. Du siehst dann, dass du bereits für die eine Gleichung ein Gegenbeispiel hast. Über die 2. Gleichung können wir uns ja dann austauschen.
Gruß
Sigrid
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Hi Sigrid,
vielen Dank! Ich werde das ganze jetzt machen bzw. evtl morgen ganz früh und dann online stellen. Ich hoffe, dass du dir nochmal die Zeit nimmst und da drüber siehst.
Warum ist eigentlich mein erstes Beispiel besser als das zweite? Also schließe ich daraus, dass wenn ich jeder der 4 Mengen nur 1 Element zuteile, dass das dann nicht klappt, wenn ich jedoch mehre Elemente zuteile, dass das dann nicht klappt?
Ich habe aber noch eine Frage und zwar:
> Hallo KnockDown,
>
> Dein erstes Beispiel war besser. Ich kopiere die Aufgabe
> und dein Beispiel nochmal hierher
>
> Aufgabe
> Seien A und B Mengen mit Teilmengen [mm]C \subset A[/mm] und [mm]D \subset B [/mm].
>
> Von den beiden Formeln ist nur eine allgemein gültig:
>
> [mm](A \times B) \setminus (C \times D) = (A \setminus C) \times (B \setminus D)[/mm]
>
> [mm](A \times B) \setminus (C \times D) = ((A \setminus C) \times B) \cup (A \times (B \setminus D))[/mm]
>
> Finden Sie heraus, welche der beiden Formeln immer richtig
> ist und begründen Sie warum die andere Formel in vielen
> Fällen falsch ist.
>
>
> Als nächstes habe ich versucht das ganze zu Lösen indem ich
> A={a, b}, B={c, d}, C={a} und D={c} nach der Formel
> anwende. Leider komme ich damit nicht weit! Ich habe das
> ganze auch mit Zahlen versucht.
>
> Für dein Beispiel ist
>
> [mm]A \times B = \{(a,c); (a,d); (b,c); (b,d)\}[/mm] und
>
> [mm]C \times D = \{(a,c) \}[/mm]
>
> also [mm](A \times B) \setminus (C \times D) = \{(a,d); ((b,c); (b,d) \}[/mm]
Müsste die Zeile obendrüber nicht so aussehen oder versteh ich das falsch?:
[mm](A \times B) \setminus (C \times D) = \{(a,c); (a,d); (b,c); (b,d) \}[/mm]
>
> Ich hoffe, mir sind keine Schreibfehler unterlaufen.
> Entsprechend bestimmst du jetzt die übrigen Mengen. Du
> siehst dann, dass du bereits für die eine Gleichung ein
> Gegenbeispiel hast. Über die 2. Gleichung können wir uns ja
> dann austauschen.
>
>
> Gruß
> Sigrid
>
>
Vielen Vielen Dank für deine Hilfe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Do 02.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo KnockDown,
> Hi Sigrid,
>
> vielen Dank! Ich werde das ganze jetzt machen bzw. evtl
> morgen ganz früh und dann online stellen. Ich hoffe, dass
> du dir nochmal die Zeit nimmst und da drüber siehst.
>
Ich bin morgen früh sicher noch mal im Forum, muss aber im Laufe des Vormittags weg.
> Warum ist eigentlich mein erstes Beispiel besser als das
> zweite? Also schließe ich daraus, dass wenn ich jeder der 4
> Mengen nur 1 Element zuteile, dass das dann nicht klappt,
> wenn ich jedoch mehre Elemente zuteile, dass das dann nicht
> klappt?
>
Bei deinem 2. Beispiel hast du ja jedes Mal die leere Menge herausbekommen, damit hast du für keine deiner Gleichungen ein Gegenbeispiel. Du kannst sicher noch eine Menge anderer brauchbarer Beispiele finden. Aber es reicht, wenn du für eine Gleichung ein (i.a. möglichst einfaches) Gegenbeispiel findest.
> Ich habe aber noch eine Frage und zwar:
>
>
>
> > Hallo KnockDown,
> >
> > Dein erstes Beispiel war besser. Ich kopiere die Aufgabe
> > und dein Beispiel nochmal hierher
> >
> > Aufgabe
> > Seien A und B Mengen mit Teilmengen [mm]C \subset A[/mm] und [mm]D \subset B [/mm].
>
> >
> > Von den beiden Formeln ist nur eine allgemein gültig:
> >
> > [mm](A \times B) \setminus (C \times D) = (A \setminus C) \times (B \setminus D)[/mm]
>
> >
> > [mm](A \times B) \setminus (C \times D) = ((A \setminus C) \times B) \cup (A \times (B \setminus D))[/mm]
>
> >
> > Finden Sie heraus, welche der beiden Formeln immer richtig
> > ist und begründen Sie warum die andere Formel in vielen
> > Fällen falsch ist.
> >
> >
> > Als nächstes habe ich versucht das ganze zu Lösen indem ich
> > A={a, b}, B={c, d}, C={a} und D={c} nach der Formel
> > anwende. Leider komme ich damit nicht weit! Ich habe das
> > ganze auch mit Zahlen versucht.
> >
> > Für dein Beispiel ist
> >
> > [mm]A \times B = \{(a,c); (a,d); (b,c); (b,d)\}[/mm] und
> >
> > [mm]C \times D = \{(a,c) \}[/mm]
> >
> > also [mm](A \times B) \setminus (C \times D) = \{(a,d); ((b,c); (b,d) \}[/mm]
>
> Müsste die Zeile obendrüber nicht so aussehen oder versteh
> ich das falsch?:
>
> [mm](A \times B) \setminus (C \times D) = \{(a,c); (a,d); (b,c); (b,d) \}[/mm]
>
>
Nein, du musst doch aus der Menge [mm]A \times B [/mm] die Elemente aus $ C [mm] \times [/mm] D $ (hier also das Element (a,c) herausnehmen.
>
Gruß
Sigrid
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Hi,
ich hab das ganze jetzt fertig gerechnet. Also jetzt stimmts :) Jetzt komme ich bei einer der 3 Formeln auf ein falsches Ergebnis.
Ich habe das ganze mal angehängt.
[Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Reicht diese Rechnung als Begründung, da mir eine textliche Begründung nicht einfällt.
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Guten Morgen KnockDown,
> Hi,
>
> ich hab das ganze jetzt fertig gerechnet. Also jetzt
> stimmts :) Jetzt komme ich bei einer der 3 Formeln auf ein
> falsches Ergebnis.
>
> Ich habe das ganze mal angehängt.
>
>
> [Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Genau.
>
>
> Reicht diese Rechnung als Begründung, da mir eine textliche
> Begründung nicht einfällt.
Du hast damit ein Gegenbeispiel für die erste Gleichung. Jetzt musst du noch zeigen, dass die 2. Gleichung allgemingültig ist. Dazu reicht ein Beispiel leider nicht aus.
Versuch doch mal, ob du den Beweis hinkriegst. Wenn nicht, melde dich.
Gruß
Sigrid
>
>
>
> Danke :)
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Ich hab mir überlegt, dass ich das ganze mit umformen beweisen könnte. Wenn ich die erste Formel umforme zu der zweiten oder? Das müsste doch dann gehen?
Problem ist nur, ich kenne keine Regeln, wie ich z. B. [mm] $\times \setminus \cup \cap$ [/mm] umformen kann. Wie funktioniert das? Kann ich das irgendwo nachlesen?
Danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo KnockDown,
> Ich hab mir überlegt, dass ich das ganze mit umformen
> beweisen könnte. Wenn ich die erste Formel umforme zu der
> zweiten oder? Das müsste doch dann gehen?
> Problem ist nur, ich kenne keine Regeln, wie ich z. B.
> [mm]\times \setminus \cup \cap[/mm] umformen kann. Wie funktioniert
> das? Kann ich das irgendwo nachlesen?
Du meinst, die linke Menge so umformen, dass die rechte herauskommt. Das geht vielleicht, aber hier kenne ich im Moment auch keine Rechenregel.
Ein möglicher Weg, die Gleichheit zweier Mengen nach zu weisen, ist: Du nimmst ein beliebiges Element der 1. Menge und zeigst, dass es Element der 2. ist und umgekehrt.
zu zeigen:
$ (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) = ((A [mm] \setminus [/mm] C) [mm] \times [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \times [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D)) $
$ (a,b) [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) $
$ [mm] \gdw [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] A [mm] \times B\\\ \wedge\\\ [/mm] (a,b) [mm] \not\in [/mm] C [mm] \times [/mm] D $
$ [mm] \gdw [/mm] ( a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] b [mm] \in B)\\\ \wedge\\\ [/mm] (a [mm] \not\in [/mm] C [mm] \vee [/mm] b [mm] \not\in [/mm] D) $
Wenn bis hierher alle klar ist, kannst du ja jetzt versuchen, weiterzurechnen. Allerdings musst du Gesetze für die logischen Verknüpfungen [mm] \wedge [/mm] und [mm] \vee [/mm] kennen.
>
Gruß
Sigrid
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>
>
> Danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Sa 04.11.2006 | | Autor: | KnockDown |
Danke für deine Hilfe!
Ich werde ab hier weiterkommen :) Ich bin gerade weitergekommen!
Dankeschön!
An einen Moderator: Bitte macht hier raus eine Mitteilung. Danke!
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