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| Aufgabe | $n*(n+1) * [mm] (n^2+n+2) [/mm] + [mm] 4(n+1)^3+4(n+1)$
[/mm]
umformen in
$ (n+1) * (n+2) * [mm] ((n^2 [/mm] + 3n + 4)$ |
wie forme ich das am schnellsten um(dass man nicht alles ausmultiplizieren muss?
(nicht gleichsetzen, sondern umformen)
Ich weiß es ist (n+1) *(n+2) als gemeinsamer faktor "rausgezogen worden.
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Hallo theresetom,
so ganz ohne wird es nicht gehen.
> [mm]n*(n+1) * (n^2+n+2) + 4(n+1)^3+4(n+1)[/mm]
> umformen in
> [mm](n+1) * (n+2) * ((n^2 + 3n + 4)[/mm]
>
> wie forme ich das am schnellsten um(dass man nicht alles
> ausmultiplizieren muss?
> (nicht gleichsetzen, sondern umformen)
> Ich weiß es ist (n+1) *(n+2) als gemeinsamer faktor
> "rausgezogen worden.
Nein, bestimmt nicht. Alle drei Summanden sind sichtlich durch (n+1) teilbar, das kann man also herausziehen:
[mm] \cdots=(n+1)(n*(n^2+n+2)+4(n+1)^2+4)=\cdots
[/mm]
Die rechte Klammer bietet nun aber keine auf Anhieb erkennbaren Handlungsoptionen, schon gar nicht den Faktor (n+2). Wenn man das Ergebnis schon kennt, kann man das hier natürlich geschickt einbauen, aber in der Realität wird man das einfach nicht erkennen, sondern muss erst einmal ausmultiplizieren.
[mm] \cdots=(n+1)(n^3+n^2+2n+4n^2+8n+4+4)=(n+1)(n^3+5n^2+10n+8)=\cdots
[/mm]
Das Polynom in der rechten Klammer kann nun nur solche ganzzahligen Nullstellen haben, die ein echter Teiler von 8 sind. Außerdem ist klar, dass die Nullstellen negativ sein müssen. Es bleiben also n=-1,-2,-4,-8.
Davon erfüllt nur n=-2 die Bedingung. Also kann man (n+2) ausklammern, und die Faktorisierung findet man dann durch Polynomdivision.
Es stellt sich zudem heraus, dass die Faktorisierung in den reellen Zahlen vollständig ist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Sa 29.10.2011 | | Autor: | theresetom |
dankeschön. Hab alles verstanden ;) War ein beispiel der vollständigen Induktion !
Liebe Grüße und schönen Samstag!
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