Umformen und Potenzieren < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mi 10.05.2006 | | Autor: | lolelula |
| Aufgabe | Stelle folgende komplexe Zahl in der Form a + ib, a,b [mm] \in \IR [/mm] dar:
[mm] (1+i/1-i)^{k} [/mm] |
Hallo zusammen!
Die Aufgabe ist einem meiner Übungsblätter meiner Mathevorlesung entnommen. Kann ich diese Formel in die Polarform bringen und dann potenzieren? Ich habe den Term zunächst mit der konjugierten komplexen Zahl erweitert, was letztendendes das Ergebnis [mm] i^{k} [/mm] ergab. Einen solchen Term kann man aber nicht in die Polarform überführen (wie bitte soll den so ein Zeiger in der Gauß'schen Zahlenebene aussehen?)... oder etwa doch? Mir schwirrt ein wenig der Kopf; vielleicht sehe ich ja den sprichwörtlichen Wald vor lauter Bäumen nicht. Bin für jeden Hinweis dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lolelula,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zunächst einmal ist Deine Umformung zu [mm] $i^k$ [/mm] richtig.
Aber die Zahl $i_$ ist doch auch schon in der Polarform mit:
$i \ = \ [mm] \red{0}+\blue{1}*i$
[/mm]
Aus welcher Menge soll denn der Exponent $k_$ sein? Wenn $k \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] , kannst Du schreiben (Fallunterscheidung) mit $m \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] :
$k \ = \ 4*m$ [mm] $\Rightarrow$ $i^k [/mm] \ = \ [mm] i^{4m} [/mm] \ = \ [mm] \left(i^4\right)^m [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \left(i^2\right)^2 \ \right]^m [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \left(-1\right)^2 \ \right]^m [/mm] \ = \ [mm] (+1)^m [/mm] \ = \ [mm] 1^m [/mm] \ = \ +1$
$k \ = \ 4*m+1$ [mm] $\Rightarrow$ $i^k [/mm] \ = \ [mm] i^{4m+1} [/mm] \ = \ [mm] i^{4m}*i^1 [/mm] \ = \ (+1)*i \ = \ +i$
usw.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mi 10.05.2006 | | Autor: | lolelula |
Hallo Roadrunner,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe! Die Menge des Exponenten ist [mm] \IZ. [/mm] Wenn ich das richtig beurteile, dürfte das deinem Lösungsansatz keinen Abbruch tun, da auch [mm] 1^{-m} [/mm] immer 1 ist.
Damit ich das nochmal nachvollziehe: Du hast k einfach definiert als 4*m, m [mm] \in \IZ? [/mm] Wow! genial einfach. Allerdings verstehe ich noch nicht so ganz, welcher Lösungsweg wann und warum richtig ist. In deinem zweiten Hinweis schreibst du ja k = 4*m+1 und dieser Lösungsweg führt zu einem anderen Ergebnis. Rein theoretisch könnte ich doch auch k = 4*m + 3245 (oder irgendeinen anderen, beliebigen Wert) definieren? Das ist es, was mir nicht einleuchtet.
Grüße,
Lolelula
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Guten Morgen lolelula!
Du musst ja insgesamt vier Fälle unterscheiden:
$k \ = \ 4*m$
$k \ = \ 4*m+1$
$k \ = \ 4*m+2$
$k \ = \ 4*m+3$
Die nächste Zahl mit $k \ = \ 4*m+4 \ = \ 4*(m+1) \ = \ 4*m'$ wäre ja wieder unser erster Fall.
Noch ein Hinweis: bei den negativen Exponenten von der imaginären Einheit $i_$ musst Du noch aufpassen, denn es gilt ja:
[mm] $i^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{i} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1*i}{i*i} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{i}{-1} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ i$
Analog: [mm] $(-i)^{-1} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \red{+} [/mm] \ i$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Do 11.05.2006 | | Autor: | lolelula |
Hi Roadrunner,
tut mir Leid, wenn ich dich jetzt noch mal löchere. Das mit der negativen Einheit habe ich übersehen (danke für den Hinweis) - habe mich noch nicht richtig an die komplexe Rechnung gewöhnt. Das mit den vier Fällen leuchtet mir leider nur zu einem bestimmten Punkt ein: Das 4*m+4 wieder dem ersten Fall entspricht ist klar. Aber warum gibt es denn insgesamt nur vier Fälle? Entsprechen denn beispielsweise die Fälle 4*m+5, 4*m+6 usw. auch einem der ersten vier Fälle (Ich habe das mal durch umformen versucht, aber nicht hinbekommen)?
Vielen Dank nochmal für deinen bisherige Hilfe.
Gruß,
lolelula
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Hallo lolelula!
Ja, es sind nur insgesamt 4 Fälle, z.B.:
$k \ = \ 4*m+5 \ = \ 4*m+4+1 \ = \ 4*(m+1)+1 \ = \ 4*m'+1$
$k \ = \ 4*m+6 \ = \ 4*m+4+2 \ = \ 4*(m+1)+2 \ = \ 4*m'+2$
usw.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Do 11.05.2006 | | Autor: | lolelula |
Hallo Roadrunner,
danke, danke, danke. Jetzt habe auch ich es kapiert.
Da k in [mm] \IZ [/mm] liegt, müsste es demzufolge zu jedem der vier Fälle ein entsprechendes negatives Gegenstück geben, also insgesamt acht Fälle, oder?
Grüße,
lolelula
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Hallo lolelula!
> Da k in [mm]\IZ[/mm] liegt, müsste es demzufolge zu jedem der vier
> Fälle ein entsprechendes negatives Gegenstück geben, also
> insgesamt acht Fälle, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und wenn man dann noch genauer hinsieht, kann man es auf 6 verschiedene Fälle reduzieren (da die rein reellen Lösungen identisch sind für positives und negatives $m_$ !
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Do 11.05.2006 | | Autor: | lolelula |
Na macht sich doch gleich große Erleichterung breit ;)
Vielen Dank nochmal für deine Geduld.
Grüße,
lolelula
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