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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle [mm] x\in\IR \(1) [/mm] und [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] 1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}=\bruch{1+nx^{n+1}-(n+1)x^n}{(1-x)^2} [/mm] |
Leider finde ich keinen erfolgreichen Ansatz, versucht habe ich:
[mm] 1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}= \summe_{n=1}^{n}nx^{n-1}= \bruch{nx^{n-1}(nx^{n-1}+1)}{2}=...=\bruch{1+nx^{n+1}-(n+1)x^n}{(1-x)^2}
[/mm]
Ich komme nicht weiter...oder bin ich auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp: bei festem x [mm] \not=1 [/mm] : Induktion nach n
FRED
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Die Deffinition lautet [mm] x\in\IR [/mm] \ 1
da macht eine Induktion keinen sinn, oder wie ist der tip gemeint?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Deffinition lautet [mm]x\in\IR[/mm] \ 1
>
> da macht eine Induktion keinen sinn,
Wieso denn nicht ? Ist x [mm] \not=1 [/mm] fest, so ist die Behauptung:
$ [mm] 1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}=\bruch{1+nx^{n+1}-(n+1)x^n}{(1-x)^2} [/mm] $ für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
Und diese Behauptung lässt sich ganz einfach , ohne jeden Schnörkel und ohne Probleme, wunderbar mit Induktion beweisen
FRED
> oder wie ist der tip
> gemeint?
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Okay, jetzt sehe ich es...schwere Geburt, aber nun habe ich eine technische Frage hierzu:
der Induktionsanfang n->2 ist klar, doch stimmt der Induktionsschluss n->n+1:
[mm] 1+(n+1)x^{(n+1)-1}=\bruch{1+(n+1)x^{(n+1)+1}-((n+1)+1)x^{n+1}}{(1-x)^2}
[/mm]
[mm] (1+(n+1)x^n)*(1-x)^2=1+nx^{n+2}+x^{n+2}-nx^{n+1}-2x^{n+1}
[/mm]
Vielen Dank!
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Hallo TUDarmstadt,
> Okay, jetzt sehe ich es...schwere Geburt, aber nun habe ich
> eine technische Frage hierzu:
>
> der Induktionsanfang n->2 ist klar, doch stimmt der
> Induktionsschluss n->n+1:
>
> [mm]1+(n+1)x^{(n+1)-1}=\bruch{1+(n+1)x^{(n+1)+1}-((n+1)+1)x^{n+1}}{(1-x)^2}[/mm]
> [mm](1+(n+1)x^n)*(1-x)^2=1+nx^{n+2}+x^{n+2}-nx^{n+1}-2x^{n+1}[/mm]
>
> Vielen Dank!
Ich verstehe nicht so recht, was du machst.
IV ist doch: Für festes [mm] $x\neq [/mm] 1$ und beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelte:
[mm] $1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}=\frac{1+nx^{n+1}-(n+1)x^n}{(1-x)^2}$
[/mm]
Im eigentlichen Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ ist nun zu zeigen, dass unter dieser IV gefälligst auch gilt:
[mm] $1+2x+3x^2+....+nx^{n-1}+(n+1)x^n=\frac{1+(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$
[/mm]
Nimm dazu die linke Seite her und forme mithilfe der IV um, bis die rechte Seite da steht.
[mm] $\red{1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}}+(n+1)x^n\underbrace{=}_{\text{\red{nach IV}}}\red{\frac{1+nx^{n+1}-(n+1)x^n}{(1-x)^2}} [/mm] \ + \ [mm] (n+1)x^n$
[/mm]
Nun forme das mit elementaren Schulmitteln um, mache gleichnamig, multipliziere ein bisschen aus usw.
Forme solange um, bis die rechte Seite der zu zeigenden Gleichheit dasteht, also [mm] $...=\frac{1+(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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wenn ich n-> n+1 setze steht bei mir:
[mm] (n+1)x^{(n+1)-1}=\bruch{1+(n+1)x^{(n+1)+1}-((n+1)+1)x^{n+1}}{(1-x)^2}
[/mm]
[mm] (n+1)x^n=\bruch{1+(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}}{(1-x)^2}
[/mm]
[mm] nx^n+x^n=\bruch{1+nx^{n+2}+x^{n+2}-nx^{n+1}-2x^{n+1}}{(1-x)^2}
[/mm]
...nun komme ich nicht weiter!
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Hallo,
> wenn ich n-> n+1 setze steht bei mir:
>
> [mm](n+1)x^{(n+1)-1}=\bruch{1+(n+1)x^{(n+1)+1}-((n+1)+1)x^{n+1}}{(1-x)^2}[/mm]
>
> [mm](n+1)x^n=\bruch{1+(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}}{(1-x)^2}[/mm]
>
> [mm]nx^n+x^n=\bruch{1+nx^{n+2}+x^{n+2}-nx^{n+1}-2x^{n+1}}{(1-x)^2}[/mm]
>
> ...nun komme ich nicht weiter!
da fehlt aber einiges auf der linken Seite 
wie schachuzipus bereits schrieb, besteht die Aufgabe darin, zu zeigen, dass:
$ [mm] \red{1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}}+(n+1)x^n\underbrace{=}_{\text{\red{nach IV}}}\red{\frac{1+nx^{n+1}-(n+1)x^n}{(1-x)^2}} [/mm] \ + \ [mm] (n+1)x^n [/mm] $
Wenn ich das richtig sehe, hast du $\ n $ einfach durch $\ n+1 $ ersetzt, was nicht der Sinn der vollst. Induktion ist.
Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung bereits für $\ n = 1, 2.. $ geprüft hast. Wir nehmen also an, die Aussage sei wahr für bel. $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ und wollen mittels Induktionsschritt $\ n [mm] \to [/mm] n+1 $ zeigen, dass die Aussage für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ gilt.
Nimm nun schachuzipus' Tipp und versuche die rechte Seite so weit Umzuformen/Zusammenzufassen usw. bis das Ganze die Form
$ [mm] 1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}+(n+1)x^n= \frac{1+(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}}{(1-x)^2} [/mm] $
angenommen hat.
Viele Grüße
ChopSuey
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo zusammen,
nur als Ergänzung bzw. Klärung, damit es nicht zu evtl. Missverständnissen kommt.
Ich habe keinerlei rechte Seiten umgeformt o.ä.
Nochmal ganz deutlich:
(IV) Für festes $x\neq 1$ und beliebiges, aber feste $n\in\IN$ gelte $ \red{1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}=\frac{1+nx^{n+1}-(n+1)x^n}{(1-x)^2}} $
Das mache ich mal rot, damit man nachher besser erkennt, wo ich es anwende
Im Induktionsschritt $n\to n+1$ ist nun zu zeigen, dass unter der roten IV gefälligst die Beh. auch für n+1 gilt, es ist also zu zeigen, dass gilt:
$ \blue{1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}+(n+1)x^n=\frac{1+(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}}{(1-x)^2}} $
(Alles mit n durch n+1 ersetzt)
Diese Gleichung ist nun zu zeigen.
Dazu hatte ich die linke Seite hergenommen und umgeformt:
$\blue{1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}+(n+1)x^n}$
$=\red{1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}}+(n+1)x^n$
$=\red{\frac{1+nx^{n+1}-(n+1)x^n}{(1-x)^2}}}+(n+1)x^n$
Da habe ich die ersten n Summanden gem. Induktionsvoraussetzung durch den roten Bruch ersetzt und den letzten Summanden einfach mitgeschleift.
Nun erweitern:
$=\frac{1+nx^{n+1}-(n+1)x^n}{(1-x)^2}} \ + \ \frac{(n+1)x^n\cdot{}(1-x)^2}{(1-x)^2}$
Das nun schön im Zähler alles verrechnen bis am Ende herauskommt:
$....=\blue{\frac{1+(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}}{(1-x)^2}}$
(also genau die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Do 28.01.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
> Hallo zusammen,
>
> nur als Ergänzung bzw. Klärung, damit es nicht zu evtl.
> Missverständnissen kommt.
>
> Ich habe keinerlei rechte Seiten umgeformt o.ä.
Das hab ich doch auch garnicht behauptet
Ich meinte den Threadersteller, der $\ n $ durch $\ n + 1 $ offenbar ersetzt hat.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Do 28.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit (falls man Differentialrechnung verwenden darf):
Setze $f(x) = [mm] x+x^2+...+x^n$
[/mm]
Für x [mm] \not= [/mm] 1 ist (geom. Summenformel): $f(x) = [mm] \bruch{x^{n+1}-1}{x-1}-1$
[/mm]
Also:
[mm] $x+x^2+...+x^n= \bruch{x^{n+1}-1}{x-1}-1$ [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 1
Jetzt rechts und links differenzieren.
FRED
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