Umformung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Sa 06.11.2010 | | Autor: | yuppi |
Hallo,
[mm] z^3-z^2+4z-4=(z-1) (z^2+4)=(z-1)(z+2i)(z-2i)
[/mm]
z1=1 Nullstelle
Also ich verstehe leider nicht wie man aus die Umformungen kommt. Ich stoße sehr oft auf solche Umformungen. Sie sind sehr wichtig. Könnte mir das vielleicht jemand erklären.
Also wäre für eine Anleitung beim Vorgehen dankbar.
Gruß yuppi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo yuppi!
Wenn Dir die Nullstelle [mm]z_1 \ = \ 1[/mm] bekannt ist, kannst Du folgende  Polynomdivision vornehmen:
[mm] $\left(z^3-z^2+4z-4\right) [/mm] \ : \ (z-1) \ = \ ...$
Bei der anschließenden Faktorisierung wurde dann eine binomische Formel verwendet.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Sa 06.11.2010 | | Autor: | yuppi |
Also in der Vorlesung war die NS nicht bekannt.
da hat es der der Prof. eben mal dahingeschrieben also die Umformung...
keine ahnung wie er jetzt da drauf kam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo yuppi!
Diese Nullstelle erhält man durch ein wenig Probieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 06.11.2010 | | Autor: | yuppi |
danke ^^ =)
nun habe ich die NS und nun muss ich den Binomischen Lehrsatz anwenden...
in der lösung steht aber (z-1) [mm] (z^2+4)
[/mm]
da wurd doch kein binomischer lehrsatz angewendet,,,oder ? und wieso ausgerechnet diese 2 Faktionen ?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo yuppi!
Nein, wenn Du die Nullstelle mit [mm] $z_1 [/mm] \ = \ 1$ hast, sollst Du die obige Polynomdivision durchführen. Damit ergibt sich dann der zweite Term.
Gruß
Loddar
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> Hallo,
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> [mm]z^3-z^2+4z-4=(z-1) (z^2+4)=(z-1)(z+2i)(z-2i)[/mm]
>
> z1=1 Nullstelle
>
> Also ich verstehe leider nicht wie man aus die Umformungen
> kommt. Ich stoße sehr oft auf solche Umformungen. Sie sind
> sehr wichtig. Könnte mir das vielleicht jemand erklären.
>
> Also wäre für eine Anleitung beim Vorgehen dankbar.
> Gruß yuppi
Hi yuppi,
wenn man häufig Terme der Form $\ (a+b)*(c+d)$ ausmultipliziert,
erarbeitet man sich damit eine gewisse Übung, die auch beim
Faktorisieren nützlich ist.
Im vorliegenden Beispiel kann man beispielsweise sofort sehen,
dass man aus den hinteren beiden Summanden eine 4 ausklammern
kann:
$\ [mm] z^3-z^2+4z-4\ [/mm] =\ [mm] z^3-z^2+4*(z-1)$
[/mm]
Dann auch noch zu sehen, dass man auch vorne etwas ausklammern
kann, nämlich z.B. $z$ oder sogar [mm] z^2 [/mm] , ist dann kein Kunststück mehr:
$\ [mm] z^3-z^2\ [/mm] =\ [mm] z*(z^2-z)\ [/mm] =\ [mm] z^2*(z-1)$
[/mm]
Damit kommt man zur Darstellung:
$\ [mm] z^3-z^2+4z-4\ [/mm] =\ [mm] z^2*(z-1)+4*(z-1)$
[/mm]
und darauf kann man nun wegen des identischen Faktors $(z-1)$
natürlich nochmals das Distributivgesetz anwenden. Mit einiger
Übung kann man solche Umformungsmöglichkeiten durchaus (auf
den ersten oder den zweiten Blick) "sehen".
Der Professor täte aber doch wohl gut daran, wenigstens noch
einen Zwischenschritt hinzuschreiben.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Sa 25.12.2010 | | Autor: | yuppi |
>
> Damit kommt man zur Darstellung:
>
> [mm]\ z^3-z^2+4z-4\ =\ z^2*(z-1)+4*(z-1)[/mm]
>
> und darauf kann man nun wegen des identischen Faktors
> [mm](z-1)[/mm]
> natürlich nochmals das Distributivgesetz anwenden. Mit
> einiger
> Übung kann man solche Umformungsmöglichkeiten durchaus
> (auf
> den ersten oder den zweiten Blick) "sehen".
> Der Professor täte aber doch wohl gut daran, wenigstens
> noch
> einen Zwischenschritt hinzuschreiben.
>
> LG Al-Chw.
>
>
> Würde ich über das Distrubitivgesetz folgendes rausbekommen :
(z-1) [mm] (-z^2-4) [/mm] ?
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Huhu,
> >
> > Damit kommt man zur Darstellung:
> >
> > [mm]\ z^3-z^2+4z-4\ =\ z^2*(z-1)+4*(z-1)[/mm]
> Würde ich über das Distrubitivgesetz folgendes rausbekommen :
> (z-1) [mm](-z^2-4)[/mm] ?
wie kommst du denn darauf, es gilt doch:
[mm]\ z^3-z^2+4z-4\ =\ z^2*(z-1)+4*(z-1) = (z^2 + 4)*(z-1)[/mm]
Du kannst deine Lösung doch auch mal ausmultiplizieren und würdest sofort sehen, dass du einen Faktor (-1) zuviel drin hast.
MFG,
Gono.
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