Umformung Binomialkoeffizient < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Sa 03.11.2007 | | Autor: | sansia |
| Aufgabe | Zeige: F¨ur alle n N \ {0} gilt
[mm] (n+\bruch{1}{n})^{n} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}
[/mm]
Hinweis: Binomischer Satz, Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] geeignet abschätzen
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Also, ich hab die linke Seite erstmal umgeformt zu
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} 1^{k} (\bruch{1}{n})^{n-k} [/mm] , wobei ich dann durch weiters umformen zu
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} n^{k-n} [/mm] gekommen bin.
Ich hoffe, dass stimmt soweit. Bin mir nun jetzt nicht ganz im Klaren, was mit abschätzen des Binomialkoeffizienten gemeint ist. Hab versucht ihn durch
[mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm] bzw. [mm] \vektor{n+1 \\ n-k+1}, [/mm] aber dabei erreich durch kürzen auch nicht das gewünschte Ergebnis. Ich dachte, dass ich das irgendwie so kürzen kann um auf 1/k! zu kommen. Denn das n N sein soll und k kleiner oder höchstens gleich n ist, wird dieser Faktor immer ein positiv rationaler Bruch bzw. 1 und somit muss das Produkt kleiner oder gleich dem ersten Faktor sein. Ich hoffe, ihr versteht meinen Gedankengang....
Geht das so? Oder ganz falsch? Und wie komm ich auf die richtige Umformung?
Danke schon mal
Liebe Grüße
Sansia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo sansia!
Betrachte doch mal folgenden Ausdruck, indem Du die Definition anwendest:
[mm] $$\vektor{n\\k}*\bruch{1}{n^{n-k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}*\bruch{1}{n^{n-k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k!}*\bruch{n!}{(n-k)!*n^{n-k}}$$
[/mm]
Und nun den hinteren Bruch abschätzen, denn der erste Bruch ist ja genau das, wo wir hinwollen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 03.11.2007 | | Autor: | sansia |
hm... theoretisch könnt ich doch auch umformen (n-k)! = n! (n-k), oder gilt das nur für (n+1)!? Nur für k=n wäre das doch dann null und damit der Bruch ungültig ... wo liegt denn da mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo sansia!
> hm... theoretisch könnt ich doch auch umformen (n-k)! = n! (n-k),
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt nicht, wie man sich in der "Langversion" schnell klar machen kann:
$$(n-k)! \ = \ 1*2*3*...*(n-k-1)*(n-k)$$
$$n!*(n-k) \ = \ 1*2*3*...*(n-1)*n*(n-k)$$
> oder gilt das nur für (n+1)!?
Genau ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 03.11.2007 | | Autor: | sansia |
Muss ich das dann auch noch extra beweisen, dass
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!n^{n-k}} \le [/mm] 1 ist?
Oder reicht es, wenn ich das einfach angeb?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo sansia!
Da diese Beziehung nun nicht so eindeutig erkennbar bzw. offensichtlich ist, solltest Du das schon nachweisen oder zumindest ein/zwei Worte darüber verlieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 03.11.2007 | | Autor: | sansia |
sorry, ich komm immer noch net ganz weiter... wie weiß ich das denn am besten nach? vollst. Induktion, oder ind. Beweis,...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo sansia!
Schreibe doch mal den Ausdruck in "Langversion" hin:
[mm] $$\bruch{n!}{(n-k)!\cdot{}n^{n-k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{1*2*3*...*n}^{= \ n \ \text{Faktoren} }}{\underbrace{1*2*3*...*(n-k)}_{= \ n-k \ \text{Faktoren}}*\underbrace{n*n*n*...*n}_{= \ n-k \ \text{Faktoren}}}$$
[/mm]
Nun etwas zusammenfassen und abschätzen ...
Gruß
Loddar
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