Umformung bei ML-Schätzung < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:05 Mi 02.07.2008 | | Autor: | wolfe |
| Aufgabe | Die Lebsdauer X eines Bauteils besitze eine verschobene Exponentialverteilung mit der Dicht
f(x) = 0 für x < [mm] \theta
[/mm]
f(x) = [mm] \lambda*e^{-\lambda*(x-\theta)} [/mm] für x [mm] \ge \thetha; \theta [/mm] > 0
Dabei sei der Parameter [mm] \lambda [/mm] >0 bekannt, nicht jedoch [mm] \theta [/mm] > 0
a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Stichprobenmittels [mm] \overline{X} [/mm] eine erwartungstreue SChätzfunktion für [mm] \theta.
[/mm]
Antwort: [mm] T_n [/mm] = [mm] \overline{X}-\frac{1}{\lambda}
[/mm]
b) Leiten Sie aus der Maximum Likelihood SChätzung eine erwartungstreue SChätzfunktion für [mm] \theta [/mm] ab.
Lösung:
L(x1,...,xn, [mm] \theta) [/mm] = [mm] \lambda^n [/mm] * [mm] e^{-\lambda*\sum (x_i - \theta)} [/mm] ; [mm] x_i \ge \theta
[/mm]
L wird maximal für [mm] \thetha [/mm] ' = [mm] x_{min}
[/mm]
Damit ist [mm] X_{min} [/mm] die ML-Schätzung für [mm] \theta.
[/mm]
Für x [mm] \ge \theta [/mm] gilt:
[mm] P(X_{min} \ge [/mm] x) = [mm] P(X_1 \ge x)*...*P(X_n \ge [/mm] x) = [mm] e^{-n*\lambda(x-\theta)}
[/mm]
Warum dieser letzte SChritt? |
Hallo.
Ähnlich zu meiner anderen Frage kann ich auch hier den letzten SChritt nicht nachvollziehen. Ich hätte eher vermutet, dass ich das Produkt der Dichte nehmen muss, also
[mm] \produkt_{i=1}^{n}\lambda*e^{-\lambda*(x_i-\theta)} [/mm] = [mm] \lambda^n *\produkt_{i=1}^{n}e^{-\lambda*(x_i-\theta)} [/mm]
Das [mm] \lambda [/mm] kommt in der Lösung aber gar nicht mehr vor.
Kann mir jemand die nötigen Zwischenschritte vorgeben?
Dankeschön,
wolfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Mi 02.07.2008 | | Autor: | luis52 |
> Die Lebsdauer X eines Bauteils besitze eine verschobene
> Für x [mm]\ge \theta[/mm] gilt:
>
> [mm]P(X_{min} \ge[/mm] x) = [mm]P(X_1 \ge x)*...*P(X_n \ge x) =e ^{-n*\lambda(x-\theta)}[/mm]
>
> Warum dieser letzte SChritt?
Moin wolfe,
die erste Gleichung folgt so: Damit das Minimum der Stichprobenwerte
mindestens x ist, muessen *alle* Stichprobenwerte mindestens x sein. Zu
bestimmen ist also [mm] $P((X_1 \ge x)\cap\dots\cap(X_n \ge [/mm] x))$. Wegen der
Unabhaengigkeit stimmt dieser Ausdruck mit der Mitte ueberein. Und der
dritte Ausdruck folgt aus [mm] $P(X_i\ge x)=\exp(-\lambda(x-\theta))$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mi 02.07.2008 | | Autor: | wolfe |
Servus luis52.
Erst einmal vielen Dank, dass du immer meine ganzen vielen (blöden) Fragen beantwortest. Aber damit erweist du mir einen Bärendienst.
> > Für x [mm]\ge \theta[/mm] gilt:
> >
> > [mm]P(X_{min} \ge[/mm] x) = [mm]P(X_1 \ge x)*...*P(X_n \ge x) =e ^{-n*\lambda(x-\theta)}[/mm]
>
> >
> > Warum dieser letzte SChritt?
>
> Moin wolfe,
>
> die erste Gleichung folgt so: Damit das Minimum der
> Stichprobenwerte
> mindestens x ist, muessen *alle* Stichprobenwerte
> mindestens x sein. Zu
> bestimmen ist also [mm]P((X_1 \ge x)\cap\dots\cap(X_n \ge x))[/mm].
> Wegen der
> Unabhaengigkeit stimmt dieser Ausdruck mit der Mitte
> ueberein. Und der
> dritte Ausdruck folgt aus [mm]P(X_i\ge x)=\exp(-\lambda(x-\theta))[/mm].
Das verstehe ich leider immer noch nicht so recht (also die letzte Zeile)
Es ist doch f(x) = $ [mm] \lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}(x-\theta)} [/mm] $ für x $ [mm] \ge \thetha; \theta [/mm] $ > 0
DAs [mm] P(X_i \ge [/mm] x) bezieht sich doch immer auf die Verteilungsfunktion?
Als Verteilungsfunktion bekomme ich für diesen Abschnitt
[mm] $e^{*\lambda*\theta} [/mm] - [mm] e^{\lambda(\theta-x)}$ [/mm] heraus
Mein Problem ist gerade, dass ich überhaupt nicht weiß, wo die Beziehung $ [mm] P(X_i\ge x)=\exp(-\lambda(x-\theta)) [/mm] $. herkommt?
Wie schon vorher würde ich alternativ immernoch zu dem falschen
$ [mm] \produkt_{i=1}^{n}\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}(x_i-\theta)} [/mm] $ = $ [mm] \lambda^n \cdot{}\produkt_{i=1}^{n}e^{-\lambda\cdot{}(x_i-\theta)} [/mm] = [mm] \lambda^n *e^{-\lambda(x-\theta)}$ [/mm] tendieren.
Kannst du mir da noch einmal helfen?
LG
wolfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mi 02.07.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> Kannst du mir da noch einmal helfen?
>
Ich versuch's.
Schauen wir uns einmal die Verteilungsfunktion [mm] $F(x)=P(X\le [/mm] x)$ an
einer Verteilung mit Dichte $f(x) = [mm] \lambda e^{-\lambda(x-\theta)} [/mm] $ fuer
[mm] $x\ge \theta$ [/mm] und $f(x)=0$ sonst. Es gilt $F(x)=0$ fuer [mm] $x<\theta$ [/mm] und
fuer [mm] $x\ge \theta$ [/mm] erhalten wir mit [mm] $u=t-\theta$, [/mm] $du=dt$:
[mm] \begin{matrix}
F(x)&=&\int_\theta^x\lambda e^{-\lambda(t-\theta)}\,dt \\
&=&\int_0^{x-\theta}\lambda e^{-\lambda u}\,du \\
&=&\left[-e^{-\lambda u}\right]_0^{x-\theta}
\\
&=&1-e^{-\lambda (x-\theta)}
\end{matrix}
[/mm]
Mithin ist [mm] $P(X\ge x)=e^{-\lambda (x-\theta)}$.
[/mm]
Ich vermute, dass du dadurch verwirrt bist, dass die Loesung in deinem
ersten Posting zwei Teile aufweist. Im ersten Teil wird anscheinend
nachgewiesen, dass [mm] $X_\text{min}$ [/mm] der ML-Schaetzer fuer [mm] $\theta$ [/mm] ist.
Mit dem zweiten Teil kannst du die Verteilung von [mm] $X_\text{min}$
[/mm]
bestimmen. Die benoetigst du, wenn du "aus der Maximum Likelihood
SChätzung eine erwartungstreue Schätzfunktion für $ [mm] \theta [/mm] $" ableiten
willst, wie es in Teil b) der Aufgabe verlangt wird.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:48 Fr 04.07.2008 | | Autor: | wolfe |
Hallo luis52.
Ich glaub, jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank 
VG
wolfe
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